Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63345 / 76783
↖ ↑ ↗
← S 29.494597°
W  6.017761°		 ← 265.84 m → S 29.494597°
W  6.015015°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
S 29.496987°
W  6.017761°		 ← 265.84 m →
70 660 m²		 S 29.496987°
W  6.015015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483287811279297 y=0.585811614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483287811279297 × 217)
    floor (0.483287811279297 × 131072)
    floor (63345.5)     		tx = 63345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585811614990234 × 217)
    floor (0.585811614990234 × 131072)
    floor (76783.5)     		ty = 76783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63345 / 76783 ti = "17/63345/76783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63345/76783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63345 ÷ 217
    63345 ÷ 131072     		x = 0.483283996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76783 ÷ 217
    76783 ÷ 131072     		y = 0.585807800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483283996582031 × 2 - 1) × π
    -0.0334320068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10502975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585807800292969 × 2 - 1) × π
    -0.171615600585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.539146310026772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10502975} λ = -0.10502975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539146310026772))-π/2
    2×atan(0.583245951123948)-π/2
    2×0.528009248857938-π/2
    1.05601849771588-1.57079632675     		φ = -0.51477783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10502975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.017761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51477783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.494597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63345 KachelY 76783 -0.10502975 -0.51477783 -6.017761 -29.494597
    Oben rechts KachelX + 1 63346 KachelY 76783 -0.10498181 -0.51477783 -6.015015 -29.494597
    Unten links KachelX 63345 KachelY + 1 76784 -0.10502975 -0.51481955 -6.017761 -29.496987
    Unten rechts KachelX + 1 63346 KachelY + 1 76784 -0.10498181 -0.51481955 -6.015015 -29.496987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51477783--0.51481955) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51477783--0.51481955) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10502975--0.10498181) × cos(-0.51477783) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.870402127285965 × 6371000     		do = 265.843213823947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10502975--0.10498181) × cos(-0.51481955) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.870381586041768 × 6371000     		du = 265.836939999237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51477783)-sin(-0.51481955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870402127285965-0.870381586041768)×R²
    abs(-0.10498181--0.10502975)×2.05412441972586e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.05412441972586e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.05412441972586e-05×40589641000000     		ar = 70659.7926739711m²