Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63338 / 39044
↖ ↑ ↗
← N 58.625497°
W  6.036988°		 ← 159.01 m → N 58.625497°
W  6.034241°		 →
↑
158.96 m
↓
↑
158.96 m
↓
N 58.624068°
W  6.036988°		 ← 159.02 m →
25 277 m²		 N 58.624068°
W  6.034241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483234405517578 y=0.297885894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483234405517578 × 217)
    floor (0.483234405517578 × 131072)
    floor (63338.5)     		tx = 63338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297885894775391 × 217)
    floor (0.297885894775391 × 131072)
    floor (39044.5)     		ty = 39044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63338 / 39044 ti = "17/63338/39044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63338/39044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63338 ÷ 217
    63338 ÷ 131072     		x = 0.483230590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39044 ÷ 217
    39044 ÷ 131072     		y = 0.297882080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483230590820312 × 2 - 1) × π
    -0.033538818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10536531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297882080078125 × 2 - 1) × π
    0.40423583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26994434473453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10536531} λ = -0.10536531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26994434473453))-π/2
    2×atan(3.56065438767564)-π/2
    2×1.29700214016141-π/2
    2.59400428032281-1.57079632675     		φ = 1.02320795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10536531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.036988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02320795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.625497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63338 KachelY 39044 -0.10536531 1.02320795 -6.036988 58.625497
    Oben rechts KachelX + 1 63339 KachelY 39044 -0.10531737 1.02320795 -6.034241 58.625497
    Unten links KachelX 63338 KachelY + 1 39045 -0.10536531 1.02318300 -6.036988 58.624068
    Unten rechts KachelX + 1 63339 KachelY + 1 39045 -0.10531737 1.02318300 -6.034241 58.624068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02320795-1.02318300) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dl = 158.95645000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02320795-1.02318300) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dr = 158.95645000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10536531--0.10531737) × cos(1.02320795) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.520629743048721 × 6371000     		do = 159.013724536699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10536531--0.10531737) × cos(1.02318300) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.520651044761704 × 6371000     		du = 159.02023062815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02320795)-sin(1.02318300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520629743048721-0.520651044761704)×R²
    abs(-0.10531737--0.10536531)×2.13017129823134e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.13017129823134e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.13017129823134e-05×40589641000000     		ar = 25276.7742475543m²