Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6333 / 6141
↖ ↑ ↗
← S 66.460663°
E 98.305664°		 ← 1 951.56 m → S 66.460663°
E 98.349609°		 →
↑
1 950.86 m
↓
↑
1 950.86 m
↓
S 66.478208°
E 98.305664°		 ← 1 950.19 m →
3 805 891 m²		 S 66.478208°
E 98.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77313232421875 y=0.74969482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77313232421875 × 213)
    floor (0.77313232421875 × 8192)
    floor (6333.5)     		tx = 6333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74969482421875 × 213)
    floor (0.74969482421875 × 8192)
    floor (6141.5)     		ty = 6141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6333 / 6141 ti = "13/6333/6141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6333/6141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6333 ÷ 213
    6333 ÷ 8192     		x = 0.7730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6141 ÷ 213
    6141 ÷ 8192     		y = 0.7496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7730712890625 × 2 - 1) × π
    0.546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71575751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56849535556824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71575751} λ = 1.71575751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56849535556824))-π/2
    2×atan(0.208358452002821)-π/2
    2×0.205419462868733-π/2
    0.410838925737465-1.57079632675     		φ = -1.15995740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71575751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15995740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.460663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6333 KachelY 6141 1.71575751 -1.15995740 98.305664 -66.460663
    Oben rechts KachelX + 1 6334 KachelY 6141 1.71652450 -1.15995740 98.349609 -66.460663
    Unten links KachelX 6333 KachelY + 1 6142 1.71575751 -1.16026361 98.305664 -66.478208
    Unten rechts KachelX + 1 6334 KachelY + 1 6142 1.71652450 -1.16026361 98.349609 -66.478208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15995740--1.16026361) × R
    0.000306209999999973 × 6371000     		dl = 1950.86390999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15995740--1.16026361) × R
    0.000306209999999973 × 6371000     		dr = 1950.86390999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71575751-1.71652450) × cos(-1.15995740) × R
    0.000766990000000023 × 0.399378584856342 × 6371000     		do = 1951.56077507027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71575751-1.71652450) × cos(-1.16026361) × R
    0.000766990000000023 × 0.399097837066471 × 6371000     		du = 1950.18890287888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15995740)-sin(-1.16026361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399378584856342-0.399097837066471)×R²
    abs(1.71652450-1.71575751)×0.000280747789871583×R²
    0.000766990000000023×0.000280747789871583×6371000²
    0.000766990000000023×0.000280747789871583×40589641000000     		ar = 3805891.34601897m²