Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63323 / 39023
↖ ↑ ↗
← N 58.655513°
W  6.078186°		 ← 158.88 m → N 58.655513°
W  6.075439°		 →
↑
158.83 m
↓
↑
158.83 m
↓
N 58.654085°
W  6.078186°		 ← 158.88 m →
25 235 m²		 N 58.654085°
W  6.075439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483119964599609 y=0.297725677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483119964599609 × 217)
    floor (0.483119964599609 × 131072)
    floor (63323.5)     		tx = 63323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297725677490234 × 217)
    floor (0.297725677490234 × 131072)
    floor (39023.5)     		ty = 39023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63323 / 39023 ti = "17/63323/39023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63323/39023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63323 ÷ 217
    63323 ÷ 131072     		x = 0.483116149902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39023 ÷ 217
    39023 ÷ 131072     		y = 0.297721862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483116149902344 × 2 - 1) × π
    -0.0337677001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10608436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297721862792969 × 2 - 1) × π
    0.404556274414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.27095101962655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10608436} λ = -0.10608436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27095101962655))-π/2
    2×atan(3.56424061382593)-π/2
    2×1.29726408001074-π/2
    2.59452816002147-1.57079632675     		φ = 1.02373183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10608436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.078186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02373183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.655513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63323 KachelY 39023 -0.10608436 1.02373183 -6.078186 58.655513
    Oben rechts KachelX + 1 63324 KachelY 39023 -0.10603642 1.02373183 -6.075439 58.655513
    Unten links KachelX 63323 KachelY + 1 39024 -0.10608436 1.02370690 -6.078186 58.654085
    Unten rechts KachelX + 1 63324 KachelY + 1 39024 -0.10603642 1.02370690 -6.075439 58.654085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02373183-1.02370690) × R
    2.49299999999231e-05 × 6371000     		dl = 158.82902999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02373183-1.02370690) × R
    2.49299999999231e-05 × 6371000     		dr = 158.82902999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10608436--0.10603642) × cos(1.02373183) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520182392014825 × 6371000     		do = 158.877092016086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10608436--0.10603642) × cos(1.02370690) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520203683449229 × 6371000     		du = 158.883594968194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02373183)-sin(1.02370690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520182392014825-0.520203683449229)×R²
    abs(-0.10603642--0.10608436)×2.12914344038806e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12914344038806e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12914344038806e-05×40589641000000     		ar = 25234.810844088m²