Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63322 / 39037
↖ ↑ ↗
← N 58.635506°
W  6.080933°		 ← 158.97 m → N 58.635506°
W  6.078186°		 →
↑
158.96 m
↓
↑
158.96 m
↓
N 58.634076°
W  6.080933°		 ← 158.97 m →
25 270 m²		 N 58.634076°
W  6.078186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483112335205078 y=0.297832489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483112335205078 × 217)
    floor (0.483112335205078 × 131072)
    floor (63322.5)     		tx = 63322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297832489013672 × 217)
    floor (0.297832489013672 × 131072)
    floor (39037.5)     		ty = 39037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63322 / 39037 ti = "17/63322/39037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63322/39037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63322 ÷ 217
    63322 ÷ 131072     		x = 0.483108520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39037 ÷ 217
    39037 ÷ 131072     		y = 0.297828674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483108520507812 × 2 - 1) × π
    -0.033782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10613230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297828674316406 × 2 - 1) × π
    0.404342651367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.27027990303187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10613230} λ = -0.10613230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27027990303187))-π/2
    2×atan(3.56184939528553)-π/2
    2×1.29708947846398-π/2
    2.59417895692796-1.57079632675     		φ = 1.02338263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10613230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.080933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02338263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.635506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63322 KachelY 39037 -0.10613230 1.02338263 -6.080933 58.635506
    Oben rechts KachelX + 1 63323 KachelY 39037 -0.10608436 1.02338263 -6.078186 58.635506
    Unten links KachelX 63322 KachelY + 1 39038 -0.10613230 1.02335768 -6.080933 58.634076
    Unten rechts KachelX + 1 63323 KachelY + 1 39038 -0.10608436 1.02335768 -6.078186 58.634076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02338263-1.02335768) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dl = 158.95645000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02338263-1.02335768) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dr = 158.95645000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10613230--0.10608436) × cos(1.02338263) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52048059636777 × 6371000     		do = 158.968171301255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10613230--0.10608436) × cos(1.02335768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520501900349517 × 6371000     		du = 158.974678085645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02338263)-sin(1.02335768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52048059636777-0.520501900349517)×R²
    abs(-0.10608436--0.10613230)×2.1303981746601e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1303981746601e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1303981746601e-05×40589641000000     		ar = 25269.533321866m²