Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63321 / 39021
↖ ↑ ↗
← N 58.658371°
W  6.083679°		 ← 158.83 m → N 58.658371°
W  6.080933°		 →
↑
158.83 m
↓
↑
158.83 m
↓
N 58.656942°
W  6.083679°		 ← 158.84 m →
25 227 m²		 N 58.656942°
W  6.080933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483104705810547 y=0.297710418701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483104705810547 × 217)
    floor (0.483104705810547 × 131072)
    floor (63321.5)     		tx = 63321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297710418701172 × 217)
    floor (0.297710418701172 × 131072)
    floor (39021.5)     		ty = 39021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63321 / 39021 ti = "17/63321/39021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63321/39021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63321 ÷ 217
    63321 ÷ 131072     		x = 0.483100891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39021 ÷ 217
    39021 ÷ 131072     		y = 0.297706604003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483100891113281 × 2 - 1) × π
    -0.0337982177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10618023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297706604003906 × 2 - 1) × π
    0.404586791992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.27104689342579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10618023} λ = -0.10618023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27104689342579))-π/2
    2×atan(3.56458234749638)-π/2
    2×1.29728901492083-π/2
    2.59457802984167-1.57079632675     		φ = 1.02378170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10618023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.083679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02378170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.658371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63321 KachelY 39021 -0.10618023 1.02378170 -6.083679 58.658371
    Oben rechts KachelX + 1 63322 KachelY 39021 -0.10613230 1.02378170 -6.080933 58.658371
    Unten links KachelX 63321 KachelY + 1 39022 -0.10618023 1.02375677 -6.083679 58.656942
    Unten rechts KachelX + 1 63322 KachelY + 1 39022 -0.10613230 1.02375677 -6.080933 58.656942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02378170-1.02375677) × R
    2.49299999999231e-05 × 6371000     		dl = 158.82902999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02378170-1.02375677) × R
    2.49299999999231e-05 × 6371000     		dr = 158.82902999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10618023--0.10613230) × cos(1.02378170) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520139799635331 × 6371000     		do = 158.830945100443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10618023--0.10613230) × cos(1.02375677) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520161091716443 × 6371000     		du = 158.837446893555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02378170)-sin(1.02375677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520139799635331-0.520161091716443)×R²
    abs(-0.10613230--0.10618023)×2.12920811121231e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.12920811121231e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.12920811121231e-05×40589641000000     		ar = 25227.4812821864m²