Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63320 / 77256
↖ ↑ ↗
← S 30.619005°
W  6.086426°		 ← 262.84 m → S 30.619005°
W  6.083679°		 →
↑
262.80 m
↓
↑
262.80 m
↓
S 30.621368°
W  6.086426°		 ← 262.83 m →
69 075 m²		 S 30.621368°
W  6.083679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483097076416016 y=0.589420318603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483097076416016 × 217)
    floor (0.483097076416016 × 131072)
    floor (63320.5)     		tx = 63320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589420318603516 × 217)
    floor (0.589420318603516 × 131072)
    floor (77256.5)     		ty = 77256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63320 / 77256 ti = "17/63320/77256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63320/77256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63320 ÷ 217
    63320 ÷ 131072     		x = 0.48309326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77256 ÷ 217
    77256 ÷ 131072     		y = 0.58941650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48309326171875 × 2 - 1) × π
    -0.0338134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10622817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58941650390625 × 2 - 1) × π
    -0.1788330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.561820463547058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10622817} λ = -0.10622817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561820463547058))-π/2
    2×atan(0.570170144514639)-π/2
    2×0.518196939702911-π/2
    1.03639387940582-1.57079632675     		φ = -0.53440245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10622817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53440245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.619005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63320 KachelY 77256 -0.10622817 -0.53440245 -6.086426 -30.619005
    Oben rechts KachelX + 1 63321 KachelY 77256 -0.10618023 -0.53440245 -6.083679 -30.619005
    Unten links KachelX 63320 KachelY + 1 77257 -0.10622817 -0.53444370 -6.086426 -30.621368
    Unten rechts KachelX + 1 63321 KachelY + 1 77257 -0.10618023 -0.53444370 -6.083679 -30.621368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53440245--0.53444370) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dl = 262.803749999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53440245--0.53444370) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dr = 262.803749999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10622817--0.10618023) × cos(-0.53440245) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.8605731311834 × 6371000     		do = 262.841185415787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10622817--0.10618023) × cos(-0.53444370) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.860552120716831 × 6371000     		du = 262.834768278487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53440245)-sin(-0.53444370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8605731311834-0.860552120716831)×R²
    abs(-0.10618023--0.10622817)×2.10104665688826e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.10104665688826e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.10104665688826e-05×40589641000000     		ar = 69074.8059676643m²