Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6332 / 6572
↖ ↑ ↗
← N 33.504759°
W 40.869141°		 ← 2 037.30 m → N 33.504759°
W 40.847168°		 →
↑
2 037.51 m
↓
↑
2 037.51 m
↓
N 33.486435°
W 40.869141°		 ← 2 037.73 m →
4 151 464 m²		 N 33.486435°
W 40.847168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386505126953125 y=0.401153564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386505126953125 × 214)
    floor (0.386505126953125 × 16384)
    floor (6332.5)     		tx = 6332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.401153564453125 × 214)
    floor (0.401153564453125 × 16384)
    floor (6572.5)     		ty = 6572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6332 / 6572 ti = "14/6332/6572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6332/6572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6332 ÷ 214
    6332 ÷ 16384     		x = 0.386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6572 ÷ 214
    6572 ÷ 16384     		y = 0.401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.22705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.71330107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.401123046875 × 2 - 1) × π
    0.19775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.621262219075928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71330107} λ = -0.71330107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.621262219075928))-π/2
    2×atan(1.86127589772406)-π/2
    2×1.07778234381276-π/2
    2.15556468762552-1.57079632675     		φ = 0.58476836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71330107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.869141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58476836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.504759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6332 KachelY 6572 -0.71330107 0.58476836 -40.869141 33.504759
    Oben rechts KachelX + 1 6333 KachelY 6572 -0.71291757 0.58476836 -40.847168 33.504759
    Unten links KachelX 6332 KachelY + 1 6573 -0.71330107 0.58444855 -40.869141 33.486435
    Unten rechts KachelX + 1 6333 KachelY + 1 6573 -0.71291757 0.58444855 -40.847168 33.486435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58476836-0.58444855) × R
    0.000319810000000031 × 6371000     		dl = 2037.5095100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58476836-0.58444855) × R
    0.000319810000000031 × 6371000     		dr = 2037.5095100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71330107--0.71291757) × cos(0.58476836) × R
    0.000383499999999981 × 0.833839974983535 × 6371000     		do = 2037.30328331771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71330107--0.71291757) × cos(0.58444855) × R
    0.000383499999999981 × 0.834016469456278 × 6371000     		du = 2037.73450846833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58476836)-sin(0.58444855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833839974983535-0.834016469456278)×R²
    abs(-0.71291757--0.71330107)×0.000176494472743816×R²
    0.000383499999999981×0.000176494472743816×6371000²
    0.000383499999999981×0.000176494472743816×40589641000000     		ar = 4151464.16257136m²