Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6332 / 6139
↖ ↑ ↗
← S 66.425537°
E 98.261719°		 ← 1 954.31 m → S 66.425537°
E 98.305664°		 →
↑
1 953.60 m
↓
↑
1 953.60 m
↓
S 66.443106°
E 98.261719°		 ← 1 952.93 m →
3 816 599 m²		 S 66.443106°
E 98.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77301025390625 y=0.74945068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77301025390625 × 213)
    floor (0.77301025390625 × 8192)
    floor (6332.5)     		tx = 6332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74945068359375 × 213)
    floor (0.74945068359375 × 8192)
    floor (6139.5)     		ty = 6139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6332 / 6139 ti = "13/6332/6139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6332/6139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6332 ÷ 213
    6332 ÷ 8192     		x = 0.77294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6139 ÷ 213
    6139 ÷ 8192     		y = 0.7493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77294921875 × 2 - 1) × π
    0.5458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71499052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.498779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5669613747804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71499052} λ = 1.71499052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5669613747804))-π/2
    2×atan(0.208678315134404)-π/2
    2×0.205725997881447-π/2
    0.411451995762894-1.57079632675     		φ = -1.15934433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71499052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15934433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.425537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6332 KachelY 6139 1.71499052 -1.15934433 98.261719 -66.425537
    Oben rechts KachelX + 1 6333 KachelY 6139 1.71575751 -1.15934433 98.305664 -66.425537
    Unten links KachelX 6332 KachelY + 1 6140 1.71499052 -1.15965097 98.261719 -66.443106
    Unten rechts KachelX + 1 6333 KachelY + 1 6140 1.71575751 -1.15965097 98.305664 -66.443106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15934433--1.15965097) × R
    0.000306640000000025 × 6371000     		dl = 1953.60344000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15934433--1.15965097) × R
    0.000306640000000025 × 6371000     		dr = 1953.60344000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71499052-1.71575751) × cos(-1.15934433) × R
    0.000766990000000023 × 0.399940563818873 × 6371000     		do = 1954.3068814998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71499052-1.71575751) × cos(-1.15965097) × R
    0.000766990000000023 × 0.399659496864673 × 6371000     		du = 1952.93344971406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15934433)-sin(-1.15965097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399940563818873-0.399659496864673)×R²
    abs(1.71575751-1.71499052)×0.000281066954200715×R²
    0.000766990000000023×0.000281066954200715×6371000²
    0.000766990000000023×0.000281066954200715×40589641000000     		ar = 3816599.10588858m²