Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6332 / 6116
↖ ↑ ↗
← S 66.018018°
E 98.261719°		 ← 1 986.11 m → S 66.018018°
E 98.305664°		 →
↑
1 985.46 m
↓
↑
1 985.46 m
↓
S 66.035874°
E 98.261719°		 ← 1 984.72 m →
3 941 961 m²		 S 66.035874°
E 98.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77301025390625 y=0.74664306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77301025390625 × 213)
    floor (0.77301025390625 × 8192)
    floor (6332.5)     		tx = 6332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74664306640625 × 213)
    floor (0.74664306640625 × 8192)
    floor (6116.5)     		ty = 6116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6332 / 6116 ti = "13/6332/6116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6332/6116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6332 ÷ 213
    6332 ÷ 8192     		x = 0.77294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6116 ÷ 213
    6116 ÷ 8192     		y = 0.74658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77294921875 × 2 - 1) × π
    0.5458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71499052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74658203125 × 2 - 1) × π
    -0.4931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54932059572021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71499052} λ = 1.71499052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54932059572021))-π/2
    2×atan(0.212392225005422)-π/2
    2×0.209282272146546-π/2
    0.418564544293093-1.57079632675     		φ = -1.15223178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71499052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15223178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.018018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6332 KachelY 6116 1.71499052 -1.15223178 98.261719 -66.018018
    Oben rechts KachelX + 1 6333 KachelY 6116 1.71575751 -1.15223178 98.305664 -66.018018
    Unten links KachelX 6332 KachelY + 1 6117 1.71499052 -1.15254342 98.261719 -66.035874
    Unten rechts KachelX + 1 6333 KachelY + 1 6117 1.71575751 -1.15254342 98.305664 -66.035874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15223178--1.15254342) × R
    0.000311640000000057 × 6371000     		dl = 1985.45844000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15223178--1.15254342) × R
    0.000311640000000057 × 6371000     		dr = 1985.45844000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71499052-1.71575751) × cos(-1.15223178) × R
    0.000766990000000023 × 0.406449336963359 × 6371000     		do = 1986.11195779646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71499052-1.71575751) × cos(-1.15254342) × R
    0.000766990000000023 × 0.40616458007731 × 6371000     		du = 1984.7204951835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15223178)-sin(-1.15254342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406449336963359-0.40616458007731)×R²
    abs(1.71575751-1.71499052)×0.000284756886048676×R²
    0.000766990000000023×0.000284756886048676×6371000²
    0.000766990000000023×0.000284756886048676×40589641000000     		ar = 3941961.43570057m²