Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63315 / 76601
↖ ↑ ↗
← S 29.058570°
W  6.100158°		 ← 266.92 m → S 29.058570°
W  6.097412°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 29.060971°
W  6.100158°		 ← 266.92 m →
71 253 m²		 S 29.060971°
W  6.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483058929443359 y=0.584423065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483058929443359 × 217)
    floor (0.483058929443359 × 131072)
    floor (63315.5)     		tx = 63315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584423065185547 × 217)
    floor (0.584423065185547 × 131072)
    floor (76601.5)     		ty = 76601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63315 / 76601 ti = "17/63315/76601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63315/76601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63315 ÷ 217
    63315 ÷ 131072     		x = 0.483055114746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76601 ÷ 217
    76601 ÷ 131072     		y = 0.584419250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483055114746094 × 2 - 1) × π
    -0.0338897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10646785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584419250488281 × 2 - 1) × π
    -0.168838500976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.530421794295921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10646785} λ = -0.10646785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530421794295921))-π/2
    2×atan(0.588356751811714)-π/2
    2×0.531814297105699-π/2
    1.0636285942114-1.57079632675     		φ = -0.50716773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10646785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.100158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50716773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.058570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63315 KachelY 76601 -0.10646785 -0.50716773 -6.100158 -29.058570
    Oben rechts KachelX + 1 63316 KachelY 76601 -0.10641992 -0.50716773 -6.097412 -29.058570
    Unten links KachelX 63315 KachelY + 1 76602 -0.10646785 -0.50720963 -6.100158 -29.060971
    Unten rechts KachelX + 1 63316 KachelY + 1 76602 -0.10641992 -0.50720963 -6.097412 -29.060971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50716773--0.50720963) × R
    4.18999999999281e-05 × 6371000     		dl = 266.944899999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50716773--0.50720963) × R
    4.18999999999281e-05 × 6371000     		dr = 266.944899999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10646785--0.10641992) × cos(-0.50716773) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.874123655099985 × 6371000     		do = 266.92417379236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10646785--0.10641992) × cos(-0.50720963) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.874103303358374 × 6371000     		du = 266.917959143228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50716773)-sin(-0.50720963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874123655099985-0.874103303358374)×R²
    abs(-0.10641992--0.10646785)×2.03517416111909e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.03517416111909e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.03517416111909e-05×40589641000000     		ar = 71253.2174065359m²