Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63306 / 76751
↖ ↑ ↗
← S 29.418068°
W  6.124878°		 ← 266.04 m → S 29.418068°
W  6.122131°		 →
↑
266.05 m
↓
↑
266.05 m
↓
S 29.420460°
W  6.124878°		 ← 266.04 m →
70 781 m²		 S 29.420460°
W  6.122131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482990264892578 y=0.585567474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482990264892578 × 217)
    floor (0.482990264892578 × 131072)
    floor (63306.5)     		tx = 63306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585567474365234 × 217)
    floor (0.585567474365234 × 131072)
    floor (76751.5)     		ty = 76751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63306 / 76751 ti = "17/63306/76751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63306/76751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63306 ÷ 217
    63306 ÷ 131072     		x = 0.482986450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76751 ÷ 217
    76751 ÷ 131072     		y = 0.585563659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482986450195312 × 2 - 1) × π
    -0.034027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10689929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585563659667969 × 2 - 1) × π
    -0.171127319335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.53761232923893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10689929} λ = -0.10689929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.53761232923893))-π/2
    2×atan(0.58414132577574)-π/2
    2×0.528677090889854-π/2
    1.05735418177971-1.57079632675     		φ = -0.51344214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10689929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.124878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51344214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.418068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63306 KachelY 76751 -0.10689929 -0.51344214 -6.124878 -29.418068
    Oben rechts KachelX + 1 63307 KachelY 76751 -0.10685135 -0.51344214 -6.122131 -29.418068
    Unten links KachelX 63306 KachelY + 1 76752 -0.10689929 -0.51348390 -6.124878 -29.420460
    Unten rechts KachelX + 1 63307 KachelY + 1 76752 -0.10685135 -0.51348390 -6.122131 -29.420460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51344214--0.51348390) × R
    4.17600000000018e-05 × 6371000     		dl = 266.052960000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51344214--0.51348390) × R
    4.17600000000018e-05 × 6371000     		dr = 266.052960000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10689929--0.10685135) × cos(-0.51344214) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.871058966259043 × 6371000     		do = 266.043829353283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10689929--0.10685135) × cos(-0.51348390) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.871038453887137 × 6371000     		du = 266.037564346914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51344214)-sin(-0.51348390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871058966259043-0.871038453887137)×R²
    abs(-0.10685135--0.10689929)×2.05123719060341e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05123719060341e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05123719060341e-05×40589641000000     		ar = 70780.9148877291m²