Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63302 / 76600
↖ ↑ ↗
← S 29.056170°
W  6.135864°		 ← 266.93 m → S 29.056170°
W  6.133118°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 29.058570°
W  6.135864°		 ← 266.92 m →
71 255 m²		 S 29.058570°
W  6.133118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482959747314453 y=0.584415435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482959747314453 × 217)
    floor (0.482959747314453 × 131072)
    floor (63302.5)     		tx = 63302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584415435791016 × 217)
    floor (0.584415435791016 × 131072)
    floor (76600.5)     		ty = 76600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63302 / 76600 ti = "17/63302/76600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63302/76600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63302 ÷ 217
    63302 ÷ 131072     		x = 0.482955932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76600 ÷ 217
    76600 ÷ 131072     		y = 0.58441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482955932617188 × 2 - 1) × π
    -0.034088134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10709103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1688232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.530373857396301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10709103} λ = -0.10709103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530373857396301))-π/2
    2×atan(0.588384956486283)-π/2
    2×0.531835248738527-π/2
    1.06367049747705-1.57079632675     		φ = -0.50712583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10709103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.135864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50712583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.056170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63302 KachelY 76600 -0.10709103 -0.50712583 -6.135864 -29.056170
    Oben rechts KachelX + 1 63303 KachelY 76600 -0.10704310 -0.50712583 -6.133118 -29.056170
    Unten links KachelX 63302 KachelY + 1 76601 -0.10709103 -0.50716773 -6.135864 -29.058570
    Unten rechts KachelX + 1 63303 KachelY + 1 76601 -0.10704310 -0.50716773 -6.133118 -29.058570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50712583--0.50716773) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dl = 266.944900000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50712583--0.50716773) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dr = 266.944900000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10709103--0.10704310) × cos(-0.50712583) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.874144005306976 × 6371000     		do = 266.930387972878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10709103--0.10704310) × cos(-0.50716773) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.874123655099985 × 6371000     		du = 266.92417379236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50712583)-sin(-0.50716773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874144005306976-0.874123655099985)×R²
    abs(-0.10704310--0.10709103)×2.03502069910932e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.03502069910932e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.03502069910932e-05×40589641000000     		ar = 71254.8763129328m²