Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63299 / 77236
↖ ↑ ↗
← S 30.571720°
W  6.144104°		 ← 262.91 m → S 30.571720°
W  6.141358°		 →
↑
262.93 m
↓
↑
262.93 m
↓
S 30.574085°
W  6.144104°		 ← 262.91 m →
69 128 m²		 S 30.574085°
W  6.141358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482936859130859 y=0.589267730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482936859130859 × 217)
    floor (0.482936859130859 × 131072)
    floor (63299.5)     		tx = 63299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589267730712891 × 217)
    floor (0.589267730712891 × 131072)
    floor (77236.5)     		ty = 77236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63299 / 77236 ti = "17/63299/77236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63299/77236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63299 ÷ 217
    63299 ÷ 131072     		x = 0.482933044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77236 ÷ 217
    77236 ÷ 131072     		y = 0.589263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482933044433594 × 2 - 1) × π
    -0.0341339111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10723484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.17852783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.560861725554657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10723484} λ = -0.10723484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560861725554657))-π/2
    2×atan(0.570717050422162)-π/2
    2×0.51860957247315-π/2
    1.0372191449463-1.57079632675     		φ = -0.53357718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10723484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.144104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53357718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.571720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63299 KachelY 77236 -0.10723484 -0.53357718 -6.144104 -30.571720
    Oben rechts KachelX + 1 63300 KachelY 77236 -0.10718691 -0.53357718 -6.141358 -30.571720
    Unten links KachelX 63299 KachelY + 1 77237 -0.10723484 -0.53361845 -6.144104 -30.574085
    Unten rechts KachelX + 1 63300 KachelY + 1 77237 -0.10718691 -0.53361845 -6.141358 -30.574085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53357718--0.53361845) × R
    4.12699999999822e-05 × 6371000     		dl = 262.931169999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53357718--0.53361845) × R
    4.12699999999822e-05 × 6371000     		dr = 262.931169999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10723484--0.10718691) × cos(-0.53357718) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.860993170286754 × 6371000     		do = 262.914622294908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10723484--0.10718691) × cos(-0.53361845) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.860972178949902 × 6371000     		du = 262.908212337674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53357718)-sin(-0.53361845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860993170286754-0.860972178949902)×R²
    abs(-0.10718691--0.10723484)×2.09913368517389e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.09913368517389e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.09913368517389e-05×40589641000000     		ar = 69127.6065712128m²