Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63298 / 27198
↖ ↑ ↗
← N 71.912593°
W  6.146851°		 ← 94.82 m → N 71.912593°
W  6.144104°		 →
↑
94.80 m
↓
↑
94.80 m
↓
N 71.911741°
W  6.146851°		 ← 94.83 m →
8 990 m²		 N 71.911741°
W  6.144104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482929229736328 y=0.207508087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482929229736328 × 217)
    floor (0.482929229736328 × 131072)
    floor (63298.5)     		tx = 63298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207508087158203 × 217)
    floor (0.207508087158203 × 131072)
    floor (27198.5)     		ty = 27198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63298 / 27198 ti = "17/63298/27198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63298/27198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63298 ÷ 217
    63298 ÷ 131072     		x = 0.482925415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27198 ÷ 217
    27198 ÷ 131072     		y = 0.207504272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482925415039062 × 2 - 1) × π
    -0.034149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10728278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207504272460938 × 2 - 1) × π
    0.584991455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83780485763371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10728278} λ = -0.10728278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83780485763371))-π/2
    2×atan(6.28273162244169)-π/2
    2×1.41295392765233-π/2
    2.82590785530466-1.57079632675     		φ = 1.25511153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10728278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.146851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25511153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.912593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63298 KachelY 27198 -0.10728278 1.25511153 -6.146851 71.912593
    Oben rechts KachelX + 1 63299 KachelY 27198 -0.10723484 1.25511153 -6.144104 71.912593
    Unten links KachelX 63298 KachelY + 1 27199 -0.10728278 1.25509665 -6.146851 71.911741
    Unten rechts KachelX + 1 63299 KachelY + 1 27199 -0.10723484 1.25509665 -6.144104 71.911741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25511153-1.25509665) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dl = 94.8004799996138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25511153-1.25509665) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dr = 94.8004799996138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10728278--0.10723484) × cos(1.25511153) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.310467500845898 × 6371000     		do = 94.8247661918019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10728278--0.10723484) × cos(1.25509665) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.310481645501368 × 6371000     		du = 94.8290863336656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25511153)-sin(1.25509665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310467500845898-0.310481645501368)×R²
    abs(-0.10723484--0.10728278)×1.41446554690616e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41446554690616e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41446554690616e-05×40589641000000     		ar = 8989.63812678494m²