Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63297 / 77070
↖ ↑ ↗
← S 30.178373°
W  6.149597°		 ← 264.03 m → S 30.178373°
W  6.146851°		 →
↑
264.01 m
↓
↑
264.01 m
↓
S 30.180748°
W  6.149597°		 ← 264.02 m →
69 707 m²		 S 30.180748°
W  6.146851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482921600341797 y=0.588001251220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482921600341797 × 217)
    floor (0.482921600341797 × 131072)
    floor (63297.5)     		tx = 63297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588001251220703 × 217)
    floor (0.588001251220703 × 131072)
    floor (77070.5)     		ty = 77070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63297 / 77070 ti = "17/63297/77070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63297/77070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63297 ÷ 217
    63297 ÷ 131072     		x = 0.482917785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77070 ÷ 217
    77070 ÷ 131072     		y = 0.587997436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482917785644531 × 2 - 1) × π
    -0.0341644287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10733072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587997436523438 × 2 - 1) × π
    -0.175994873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.552904200217728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10733072} λ = -0.10733072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552904200217728))-π/2
    2×atan(0.575276663368516)-π/2
    2×0.522042174820362-π/2
    1.04408434964072-1.57079632675     		φ = -0.52671198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10733072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.149597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52671198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.178373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63297 KachelY 77070 -0.10733072 -0.52671198 -6.149597 -30.178373
    Oben rechts KachelX + 1 63298 KachelY 77070 -0.10728278 -0.52671198 -6.146851 -30.178373
    Unten links KachelX 63297 KachelY + 1 77071 -0.10733072 -0.52675342 -6.149597 -30.180748
    Unten rechts KachelX + 1 63298 KachelY + 1 77071 -0.10728278 -0.52675342 -6.146851 -30.180748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52671198--0.52675342) × R
    4.14400000000592e-05 × 6371000     		dl = 264.014240000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52671198--0.52675342) × R
    4.14400000000592e-05 × 6371000     		dr = 264.014240000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10733072--0.10728278) × cos(-0.52671198) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.864464607324278 × 6371000     		do = 264.029742395883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10733072--0.10728278) × cos(-0.52675342) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.864443774955645 × 6371000     		du = 264.023379654277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52671198)-sin(-0.52675342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864464607324278-0.864443774955645)×R²
    abs(-0.10728278--0.10733072)×2.08323686335943e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.08323686335943e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.08323686335943e-05×40589641000000     		ar = 69706.7718587311m²