Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63296 / 27200
↖ ↑ ↗
← N 71.910888°
W  6.152344°		 ← 94.83 m → N 71.910888°
W  6.149597°		 →
↑
94.80 m
↓
↑
94.80 m
↓
N 71.910035°
W  6.152344°		 ← 94.84 m →
8 990 m²		 N 71.910035°
W  6.149597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482913970947266 y=0.207523345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482913970947266 × 217)
    floor (0.482913970947266 × 131072)
    floor (63296.5)     		tx = 63296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207523345947266 × 217)
    floor (0.207523345947266 × 131072)
    floor (27200.5)     		ty = 27200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63296 / 27200 ti = "17/63296/27200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63296/27200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63296 ÷ 217
    63296 ÷ 131072     		x = 0.48291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27200 ÷ 217
    27200 ÷ 131072     		y = 0.20751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20751953125 × 2 - 1) × π
    0.5849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83770898383447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10737866} λ = -0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83770898383447))-π/2
    2×atan(6.28212930196528)-π/2
    2×1.41293904412464-π/2
    2.82587808824927-1.57079632675     		φ = 1.25508176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25508176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.910888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63296 KachelY 27200 -0.10737866 1.25508176 -6.152344 71.910888
    Oben rechts KachelX + 1 63297 KachelY 27200 -0.10733072 1.25508176 -6.149597 71.910888
    Unten links KachelX 63296 KachelY + 1 27201 -0.10737866 1.25506688 -6.152344 71.910035
    Unten rechts KachelX + 1 63297 KachelY + 1 27201 -0.10733072 1.25506688 -6.149597 71.910035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25508176-1.25506688) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dl = 94.8004799996138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25508176-1.25506688) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dr = 94.8004799996138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10737866--0.10733072) × cos(1.25508176) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.310495799593839 × 6371000     		do = 94.8334093578327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10737866--0.10733072) × cos(1.25506688) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.310509944111769 × 6371000     		du = 94.8377294576883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25508176)-sin(1.25506688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310495799593839-0.310509944111769)×R²
    abs(-0.10733072--0.10737866)×1.41445179295263e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41445179295263e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41445179295263e-05×40589641000000     		ar = 8990.45750116687m²