Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63294 / 77071
↖ ↑ ↗
← S 30.180748°
W  6.157837°		 ← 264.02 m → S 30.180748°
W  6.155090°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
S 30.183122°
W  6.157837°		 ← 264.02 m →
69 688 m²		 S 30.183122°
W  6.155090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482898712158203 y=0.588008880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482898712158203 × 217)
    floor (0.482898712158203 × 131072)
    floor (63294.5)     		tx = 63294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588008880615234 × 217)
    floor (0.588008880615234 × 131072)
    floor (77071.5)     		ty = 77071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63294 / 77071 ti = "17/63294/77071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63294/77071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63294 ÷ 217
    63294 ÷ 131072     		x = 0.482894897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77071 ÷ 217
    77071 ÷ 131072     		y = 0.588005065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482894897460938 × 2 - 1) × π
    -0.034210205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10747453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588005065917969 × 2 - 1) × π
    -0.176010131835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.552952137117348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10747453} λ = -0.10747453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552952137117348))-π/2
    2×atan(0.575249087049817)-π/2
    2×0.522021455193428-π/2
    1.04404291038686-1.57079632675     		φ = -0.52675342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10747453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.157837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52675342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.180748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63294 KachelY 77071 -0.10747453 -0.52675342 -6.157837 -30.180748
    Oben rechts KachelX + 1 63295 KachelY 77071 -0.10742659 -0.52675342 -6.155090 -30.180748
    Unten links KachelX 63294 KachelY + 1 77072 -0.10747453 -0.52679485 -6.157837 -30.183122
    Unten rechts KachelX + 1 63295 KachelY + 1 77072 -0.10742659 -0.52679485 -6.155090 -30.183122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52675342--0.52679485) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dl = 263.950530000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52675342--0.52679485) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dr = 263.950530000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10747453--0.10742659) × cos(-0.52675342) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864443774955645 × 6371000     		do = 264.023379654201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10747453--0.10742659) × cos(-0.52679485) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864422946130178 × 6371000     		du = 264.01701799477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52675342)-sin(-0.52679485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864443774955645-0.864422946130178)×R²
    abs(-0.10742659--0.10747453)×2.08288254666122e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08288254666122e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08288254666122e-05×40589641000000     		ar = 69688.2714205737m²