Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63293 / 76969
↖ ↑ ↗
← S 29.938276°
W  6.160584°		 ← 264.67 m → S 29.938276°
W  6.157837°		 →
↑
264.65 m
↓
↑
264.65 m
↓
S 29.940656°
W  6.160584°		 ← 264.66 m →
70 045 m²		 S 29.940656°
W  6.157837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482891082763672 y=0.587230682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482891082763672 × 217)
    floor (0.482891082763672 × 131072)
    floor (63293.5)     		tx = 63293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587230682373047 × 217)
    floor (0.587230682373047 × 131072)
    floor (76969.5)     		ty = 76969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63293 / 76969 ti = "17/63293/76969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63293/76969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63293 ÷ 217
    63293 ÷ 131072     		x = 0.482887268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76969 ÷ 217
    76969 ÷ 131072     		y = 0.587226867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482887268066406 × 2 - 1) × π
    -0.0342254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10752247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587226867675781 × 2 - 1) × π
    -0.174453735351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.548062573356102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10752247} λ = -0.10752247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548062573356102))-π/2
    2×atan(0.578068691840698)-π/2
    2×0.524137424968142-π/2
    1.04827484993628-1.57079632675     		φ = -0.52252148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10752247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.160584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52252148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.938276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63293 KachelY 76969 -0.10752247 -0.52252148 -6.160584 -29.938276
    Oben rechts KachelX + 1 63294 KachelY 76969 -0.10747453 -0.52252148 -6.157837 -29.938276
    Unten links KachelX 63293 KachelY + 1 76970 -0.10752247 -0.52256302 -6.160584 -29.940656
    Unten rechts KachelX + 1 63294 KachelY + 1 76970 -0.10747453 -0.52256302 -6.157837 -29.940656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52252148--0.52256302) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dl = 264.651340000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52252148--0.52256302) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dr = 264.651340000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10752247--0.10747453) × cos(-0.52252148) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866563548939712 × 6371000     		do = 264.670813191917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10752247--0.10747453) × cos(-0.52256302) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866542816959485 × 6371000     		du = 264.664481111515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52252148)-sin(-0.52256302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866563548939712-0.866542816959485)×R²
    abs(-0.10747453--0.10752247)×2.07319802268957e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07319802268957e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07319802268957e-05×40589641000000     		ar = 70044.6474834778m²