Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63292 / 77072
↖ ↑ ↗
← S 30.183122°
W  6.163330°		 ← 263.96 m → S 30.183122°
W  6.160584°		 →
↑
264.01 m
↓
↑
264.01 m
↓
S 30.185496°
W  6.163330°		 ← 263.96 m →
69 689 m²		 S 30.185496°
W  6.160584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482883453369141 y=0.588016510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482883453369141 × 217)
    floor (0.482883453369141 × 131072)
    floor (63292.5)     		tx = 63292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588016510009766 × 217)
    floor (0.588016510009766 × 131072)
    floor (77072.5)     		ty = 77072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63292 / 77072 ti = "17/63292/77072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63292/77072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63292 ÷ 217
    63292 ÷ 131072     		x = 0.482879638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77072 ÷ 217
    77072 ÷ 131072     		y = 0.5880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482879638671875 × 2 - 1) × π
    -0.03424072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10757040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.176025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.553000074016968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10757040} λ = -0.10757040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553000074016968))-π/2
    2×atan(0.57522151205301)-π/2
    2×0.522000736065816-π/2
    1.04400147213163-1.57079632675     		φ = -0.52679485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10757040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.163330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52679485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.183122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63292 KachelY 77072 -0.10757040 -0.52679485 -6.163330 -30.183122
    Oben rechts KachelX + 1 63293 KachelY 77072 -0.10752247 -0.52679485 -6.160584 -30.183122
    Unten links KachelX 63292 KachelY + 1 77073 -0.10757040 -0.52683629 -6.163330 -30.185496
    Unten rechts KachelX + 1 63293 KachelY + 1 77073 -0.10752247 -0.52683629 -6.160584 -30.185496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52679485--0.52683629) × R
    4.14399999999482e-05 × 6371000     		dl = 264.01423999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52679485--0.52683629) × R
    4.14399999999482e-05 × 6371000     		dr = 264.01423999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10757040--0.10752247) × cos(-0.52679485) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864422946130178 × 6371000     		do = 263.961945608901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10757040--0.10752247) × cos(-0.52683629) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864402110792966 × 6371000     		du = 263.955583288034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52679485)-sin(-0.52683629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864422946130178-0.864402110792966)×R²
    abs(-0.10752247--0.10757040)×2.08353372124215e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08353372124215e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08353372124215e-05×40589641000000     		ar = 69688.8725970919m²