Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63288 / 77255
↖ ↑ ↗
← S 30.616641°
W  6.174316°		 ← 262.85 m → S 30.616641°
W  6.171570°		 →
↑
262.87 m
↓
↑
262.87 m
↓
S 30.619005°
W  6.174316°		 ← 262.84 m →
69 093 m²		 S 30.619005°
W  6.171570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482852935791016 y=0.589412689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482852935791016 × 217)
    floor (0.482852935791016 × 131072)
    floor (63288.5)     		tx = 63288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589412689208984 × 217)
    floor (0.589412689208984 × 131072)
    floor (77255.5)     		ty = 77255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63288 / 77255 ti = "17/63288/77255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63288/77255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63288 ÷ 217
    63288 ÷ 131072     		x = 0.48284912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77255 ÷ 217
    77255 ÷ 131072     		y = 0.589408874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48284912109375 × 2 - 1) × π
    -0.0343017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10776215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589408874511719 × 2 - 1) × π
    -0.178817749023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.561772526647438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10776215} λ = -0.10776215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561772526647438))-π/2
    2×atan(0.570197477358744)-π/2
    2×0.518217566558646-π/2
    1.03643513311729-1.57079632675     		φ = -0.53436119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10776215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53436119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.616641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63288 KachelY 77255 -0.10776215 -0.53436119 -6.174316 -30.616641
    Oben rechts KachelX + 1 63289 KachelY 77255 -0.10771421 -0.53436119 -6.171570 -30.616641
    Unten links KachelX 63288 KachelY + 1 77256 -0.10776215 -0.53440245 -6.174316 -30.619005
    Unten rechts KachelX + 1 63289 KachelY + 1 77256 -0.10771421 -0.53440245 -6.171570 -30.619005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53436119--0.53440245) × R
    4.12599999999319e-05 × 6371000     		dl = 262.867459999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53436119--0.53440245) × R
    4.12599999999319e-05 × 6371000     		dr = 262.867459999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10776215--0.10771421) × cos(-0.53436119) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.860594145278564 × 6371000     		do = 262.847603661353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10776215--0.10771421) × cos(-0.53440245) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.8605731311834 × 6371000     		du = 262.841185415787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53436119)-sin(-0.53440245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860594145278564-0.8605731311834)×R²
    abs(-0.10771421--0.10776215)×2.10140951637516e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.10140951637516e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.10140951637516e-05×40589641000000     		ar = 69093.2383773456m²