Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63287 / 27240
↖ ↑ ↗
← N 71.876745°
W  6.177063°		 ← 95.01 m → N 71.876745°
W  6.174316°		 →
↑
94.99 m
↓
↑
94.99 m
↓
N 71.875890°
W  6.177063°		 ← 95.01 m →
9 025 m²		 N 71.875890°
W  6.174316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482845306396484 y=0.207828521728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482845306396484 × 217)
    floor (0.482845306396484 × 131072)
    floor (63287.5)     		tx = 63287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207828521728516 × 217)
    floor (0.207828521728516 × 131072)
    floor (27240.5)     		ty = 27240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63287 / 27240 ti = "17/63287/27240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63287/27240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63287 ÷ 217
    63287 ÷ 131072     		x = 0.482841491699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27240 ÷ 217
    27240 ÷ 131072     		y = 0.20782470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482841491699219 × 2 - 1) × π
    -0.0343170166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10781009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20782470703125 × 2 - 1) × π
    0.5843505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83579150784967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10781009} λ = -0.10781009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83579150784967))-π/2
    2×atan(6.27009501131421)-π/2
    2×1.41264108856408-π/2
    2.82528217712815-1.57079632675     		φ = 1.25448585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10781009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.177063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25448585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.876745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63287 KachelY 27240 -0.10781009 1.25448585 -6.177063 71.876745
    Oben rechts KachelX + 1 63288 KachelY 27240 -0.10776215 1.25448585 -6.174316 71.876745
    Unten links KachelX 63287 KachelY + 1 27241 -0.10781009 1.25447094 -6.177063 71.875890
    Unten rechts KachelX + 1 63288 KachelY + 1 27241 -0.10776215 1.25447094 -6.174316 71.875890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25448585-1.25447094) × R
    1.49099999999791e-05 × 6371000     		dl = 94.9916099998669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25448585-1.25447094) × R
    1.49099999999791e-05 × 6371000     		dr = 94.9916099998669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10781009--0.10776215) × cos(1.25448585) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.311062201430674 × 6371000     		do = 95.0064030579854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10781009--0.10776215) × cos(1.25447094) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.311076371704367 × 6371000     		du = 95.0107310243142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25448585)-sin(1.25447094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311062201430674-0.311076371704367)×R²
    abs(-0.10776215--0.10781009)×1.41702736933258e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41702736933258e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41702736933258e-05×40589641000000     		ar = 9025.01674724696m²