Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63282 / 77490
↖ ↑ ↗
← S 31.170510°
W  6.190796°		 ← 261.33 m → S 31.170510°
W  6.188049°		 →
↑
261.27 m
↓
↑
261.27 m
↓
S 31.172860°
W  6.190796°		 ← 261.33 m →
68 279 m²		 S 31.172860°
W  6.188049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482807159423828 y=0.591205596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482807159423828 × 217)
    floor (0.482807159423828 × 131072)
    floor (63282.5)     		tx = 63282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591205596923828 × 217)
    floor (0.591205596923828 × 131072)
    floor (77490.5)     		ty = 77490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63282 / 77490 ti = "17/63282/77490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63282/77490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63282 ÷ 217
    63282 ÷ 131072     		x = 0.482803344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77490 ÷ 217
    77490 ÷ 131072     		y = 0.591201782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482803344726562 × 2 - 1) × π
    -0.034393310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10804977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591201782226562 × 2 - 1) × π
    -0.182403564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.573037698058151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10804977} λ = -0.10804977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573037698058151))-π/2
    2×atan(0.563810149756511)-π/2
    2×0.513384150421298-π/2
    1.0267683008426-1.57079632675     		φ = -0.54402803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10804977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.190796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54402803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.170510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63282 KachelY 77490 -0.10804977 -0.54402803 -6.190796 -31.170510
    Oben rechts KachelX + 1 63283 KachelY 77490 -0.10800183 -0.54402803 -6.188049 -31.170510
    Unten links KachelX 63282 KachelY + 1 77491 -0.10804977 -0.54406904 -6.190796 -31.172860
    Unten rechts KachelX + 1 63283 KachelY + 1 77491 -0.10800183 -0.54406904 -6.188049 -31.172860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54402803--0.54406904) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dl = 261.274710000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54402803--0.54406904) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dr = 261.274710000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10804977--0.10800183) × cos(-0.54402803) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.855630773602295 × 6371000     		do = 261.331662194309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10804977--0.10800183) × cos(-0.54406904) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.855609546652731 × 6371000     		du = 261.32517893753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54402803)-sin(-0.54406904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855630773602295-0.855609546652731)×R²
    abs(-0.10800183--0.10804977)×2.12269495644124e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.12269495644124e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.12269495644124e-05×40589641000000     		ar = 68278.5073078393m²