Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63281 / 39151
↖ ↑ ↗
← N 58.472157°
W  6.193543°		 ← 159.71 m → N 58.472157°
W  6.190796°		 →
↑
159.72 m
↓
↑
159.72 m
↓
N 58.470721°
W  6.193543°		 ← 159.72 m →
25 510 m²		 N 58.470721°
W  6.190796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482799530029297 y=0.298702239990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482799530029297 × 217)
    floor (0.482799530029297 × 131072)
    floor (63281.5)     		tx = 63281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298702239990234 × 217)
    floor (0.298702239990234 × 131072)
    floor (39151.5)     		ty = 39151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63281 / 39151 ti = "17/63281/39151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63281/39151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63281 ÷ 217
    63281 ÷ 131072     		x = 0.482795715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39151 ÷ 217
    39151 ÷ 131072     		y = 0.298698425292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482795715332031 × 2 - 1) × π
    -0.0344085693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10809771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298698425292969 × 2 - 1) × π
    0.402603149414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.26481509647518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10809771} λ = -0.10809771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26481509647518))-π/2
    2×atan(3.54243766633754)-π/2
    2×1.29566399425197-π/2
    2.59132798850394-1.57079632675     		φ = 1.02053166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10809771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.193543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02053166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.472157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63281 KachelY 39151 -0.10809771 1.02053166 -6.193543 58.472157
    Oben rechts KachelX + 1 63282 KachelY 39151 -0.10804977 1.02053166 -6.190796 58.472157
    Unten links KachelX 63281 KachelY + 1 39152 -0.10809771 1.02050659 -6.193543 58.470721
    Unten rechts KachelX + 1 63282 KachelY + 1 39152 -0.10804977 1.02050659 -6.190796 58.470721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02053166-1.02050659) × R
    2.50699999999604e-05 × 6371000     		dl = 159.720969999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02053166-1.02050659) × R
    2.50699999999604e-05 × 6371000     		dr = 159.720969999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10809771--0.10804977) × cos(1.02053166) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522912845554118 × 6371000     		do = 159.71104280886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10809771--0.10804977) × cos(1.02050659) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522934214710676 × 6371000     		du = 159.717569499315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02053166)-sin(1.02050659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522912845554118-0.522934214710676)×R²
    abs(-0.10804977--0.10809771)×2.13691565580376e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13691565580376e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13691565580376e-05×40589641000000     		ar = 25509.7239032036m²