Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6328 / 9144
↖ ↑ ↗
← N 61.980268°
W110.478516°		 ← 573.90 m → N 61.980268°
W110.467529°		 →
↑
573.96 m
↓
↑
573.96 m
↓
N 61.975106°
W110.478516°		 ← 573.99 m →
329 423 m²		 N 61.975106°
W110.467529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.193130493164062 y=0.279067993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.193130493164062 × 215)
    floor (0.193130493164062 × 32768)
    floor (6328.5)     		tx = 6328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279067993164062 × 215)
    floor (0.279067993164062 × 32768)
    floor (9144.5)     		ty = 9144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6328 / 9144 ti = "15/6328/9144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6328/9144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6328 ÷ 215
    6328 ÷ 32768     		x = 0.193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9144 ÷ 215
    9144 ÷ 32768     		y = 0.279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.61376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.92821385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.279052734375 × 2 - 1) × π
    0.44189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.38825261299683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.92821385} λ = -1.92821385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38825261299683))-π/2
    2×atan(4.00784068201729)-π/2
    2×1.32627803090867-π/2
    2.65255606181734-1.57079632675     		φ = 1.08175974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.92821385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.478516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08175974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.980268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6328 KachelY 9144 -1.92821385 1.08175974 -110.478516 61.980268
    Oben rechts KachelX + 1 6329 KachelY 9144 -1.92802210 1.08175974 -110.467529 61.980268
    Unten links KachelX 6328 KachelY + 1 9145 -1.92821385 1.08166965 -110.478516 61.975106
    Unten rechts KachelX + 1 6329 KachelY + 1 9145 -1.92802210 1.08166965 -110.467529 61.975106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08175974-1.08166965) × R
    9.00900000000426e-05 × 6371000     		dl = 573.963390000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08175974-1.08166965) × R
    9.00900000000426e-05 × 6371000     		dr = 573.963390000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.92821385--1.92802210) × cos(1.08175974) × R
    0.000191749999999935 × 0.469775618766152 × 6371000     		do = 573.896334577573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.92821385--1.92802210) × cos(1.08166965) × R
    0.000191749999999935 × 0.469855147037436 × 6371000     		du = 573.993489435259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08175974)-sin(1.08166965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469775618766152-0.469855147037436)×R²
    abs(-1.92802210--1.92821385)×7.95282712846013e-05×R²
    0.000191749999999935×7.95282712846013e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.95282712846013e-05×40589641000000     		ar = 329423.367591817m²