Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6328 / 6069
↖ ↑ ↗
← S 65.164579°
E 98.085938°		 ← 2 052.39 m → S 65.164579°
E 98.129883°		 →
↑
2 051.65 m
↓
↑
2 051.65 m
↓
S 65.183030°
E 98.085938°		 ← 2 050.96 m →
4 209 331 m²		 S 65.183030°
E 98.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77252197265625 y=0.74090576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77252197265625 × 213)
    floor (0.77252197265625 × 8192)
    floor (6328.5)     		tx = 6328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74090576171875 × 213)
    floor (0.74090576171875 × 8192)
    floor (6069.5)     		ty = 6069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6328 / 6069 ti = "13/6328/6069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6328/6069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6328 ÷ 213
    6328 ÷ 8192     		x = 0.7724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6069 ÷ 213
    6069 ÷ 8192     		y = 0.7408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.481689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51327204720593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71192256} λ = 1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51327204720593))-π/2
    2×atan(0.220188331357953)-π/2
    2×0.21672993480568-π/2
    0.43345986961136-1.57079632675     		φ = -1.13733646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13733646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.164579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6328 KachelY 6069 1.71192256 -1.13733646 98.085938 -65.164579
    Oben rechts KachelX + 1 6329 KachelY 6069 1.71268955 -1.13733646 98.129883 -65.164579
    Unten links KachelX 6328 KachelY + 1 6070 1.71192256 -1.13765849 98.085938 -65.183030
    Unten rechts KachelX + 1 6329 KachelY + 1 6070 1.71268955 -1.13765849 98.129883 -65.183030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13733646--1.13765849) × R
    0.000322029999999973 × 6371000     		dl = 2051.65312999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13733646--1.13765849) × R
    0.000322029999999973 × 6371000     		dr = 2051.65312999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71192256-1.71268955) × cos(-1.13733646) × R
    0.000766989999999801 × 0.420013201459149 × 6371000     		do = 2052.39169064102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71192256-1.71268955) × cos(-1.13765849) × R
    0.000766989999999801 × 0.419720931666003 × 6371000     		du = 2050.96351625794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13733646)-sin(-1.13765849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420013201459149-0.419720931666003)×R²
    abs(1.71268955-1.71192256)×0.000292269793145228×R²
    0.000766989999999801×0.000292269793145228×6371000²
    0.000766989999999801×0.000292269793145228×40589641000000     		ar = 4209330.81324448m²