Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63279 / 76632
↖ ↑ ↗
← S 29.132970°
W  6.199036°		 ← 266.73 m → S 29.132970°
W  6.196289°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
S 29.135369°
W  6.199036°		 ← 266.73 m →
71 151 m²		 S 29.135369°
W  6.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482784271240234 y=0.584659576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482784271240234 × 217)
    floor (0.482784271240234 × 131072)
    floor (63279.5)     		tx = 63279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584659576416016 × 217)
    floor (0.584659576416016 × 131072)
    floor (76632.5)     		ty = 76632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63279 / 76632 ti = "17/63279/76632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63279/76632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63279 ÷ 217
    63279 ÷ 131072     		x = 0.482780456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76632 ÷ 217
    76632 ÷ 131072     		y = 0.58465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482780456542969 × 2 - 1) × π
    -0.0344390869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10819358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.531907838184143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10819358} λ = -0.10819358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531907838184143))-π/2
    2×atan(0.587483077176796)-π/2
    2×0.53116503856959-π/2
    1.06233007713918-1.57079632675     		φ = -0.50846625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10819358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.199036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50846625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.132970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63279 KachelY 76632 -0.10819358 -0.50846625 -6.199036 -29.132970
    Oben rechts KachelX + 1 63280 KachelY 76632 -0.10814565 -0.50846625 -6.196289 -29.132970
    Unten links KachelX 63279 KachelY + 1 76633 -0.10819358 -0.50850812 -6.199036 -29.135369
    Unten rechts KachelX + 1 63280 KachelY + 1 76633 -0.10814565 -0.50850812 -6.196289 -29.135369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50846625--0.50850812) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50846625--0.50850812) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10819358--0.10814565) × cos(-0.50846625) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.873492222687487 × 6371000     		do = 266.731358309072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10819358--0.10814565) × cos(-0.50850812) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.873471838010532 × 6371000     		du = 266.725133602736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50846625)-sin(-0.50850812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873492222687487-0.873471838010532)×R²
    abs(-0.10814565--0.10819358)×2.03846769548655e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.03846769548655e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.03846769548655e-05×40589641000000     		ar = 71150.7651845736m²