Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63278 / 39149
↖ ↑ ↗
← N 58.475029°
W  6.201782°		 ← 159.70 m → N 58.475029°
W  6.199036°		 →
↑
159.66 m
↓
↑
159.66 m
↓
N 58.473593°
W  6.201782°		 ← 159.70 m →
25 497 m²		 N 58.473593°
W  6.199036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482776641845703 y=0.298686981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482776641845703 × 217)
    floor (0.482776641845703 × 131072)
    floor (63278.5)     		tx = 63278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298686981201172 × 217)
    floor (0.298686981201172 × 131072)
    floor (39149.5)     		ty = 39149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63278 / 39149 ti = "17/63278/39149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63278/39149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63278 ÷ 217
    63278 ÷ 131072     		x = 0.482772827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39149 ÷ 217
    39149 ÷ 131072     		y = 0.298683166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482772827148438 × 2 - 1) × π
    -0.034454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10824152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298683166503906 × 2 - 1) × π
    0.402633666992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.26491097027442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10824152} λ = -0.10824152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26491097027442))-π/2
    2×atan(3.54277730957636)-π/2
    2×1.29568906004826-π/2
    2.59137812009651-1.57079632675     		φ = 1.02058179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10824152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.201782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02058179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.475029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63278 KachelY 39149 -0.10824152 1.02058179 -6.201782 58.475029
    Oben rechts KachelX + 1 63279 KachelY 39149 -0.10819358 1.02058179 -6.199036 58.475029
    Unten links KachelX 63278 KachelY + 1 39150 -0.10824152 1.02055673 -6.201782 58.473593
    Unten rechts KachelX + 1 63279 KachelY + 1 39150 -0.10819358 1.02055673 -6.199036 58.473593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02058179-1.02055673) × R
    2.50600000000212e-05 × 6371000     		dl = 159.657260000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02058179-1.02055673) × R
    2.50600000000212e-05 × 6371000     		dr = 159.657260000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10824152--0.10819358) × cos(1.02058179) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522870114779179 × 6371000     		do = 159.697991730303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10824152--0.10819358) × cos(1.02055673) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522891476068907 × 6371000     		du = 159.704516018026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02058179)-sin(1.02055673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522870114779179-0.522891476068907)×R²
    abs(-0.10819358--0.10824152)×2.13612897276283e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13612897276283e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13612897276283e-05×40589641000000     		ar = 25497.4646133671m²