Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63277 / 77022
↖ ↑ ↗
← S 30.064340°
W  6.204529°		 ← 264.33 m → S 30.064340°
W  6.201782°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
S 30.066717°
W  6.204529°		 ← 264.33 m →
69 872 m²		 S 30.066717°
W  6.201782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482769012451172 y=0.587635040283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482769012451172 × 217)
    floor (0.482769012451172 × 131072)
    floor (63277.5)     		tx = 63277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587635040283203 × 217)
    floor (0.587635040283203 × 131072)
    floor (77022.5)     		ty = 77022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63277 / 77022 ti = "17/63277/77022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63277/77022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63277 ÷ 217
    63277 ÷ 131072     		x = 0.482765197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77022 ÷ 217
    77022 ÷ 131072     		y = 0.587631225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482765197753906 × 2 - 1) × π
    -0.0344696044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10828946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587631225585938 × 2 - 1) × π
    -0.175262451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.550603229035965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10828946} λ = -0.10828946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550603229035965))-π/2
    2×atan(0.576601882453235)-π/2
    2×0.523037303653849-π/2
    1.0460746073077-1.57079632675     		φ = -0.52472172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10828946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.204529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52472172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.064340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63277 KachelY 77022 -0.10828946 -0.52472172 -6.204529 -30.064340
    Oben rechts KachelX + 1 63278 KachelY 77022 -0.10824152 -0.52472172 -6.201782 -30.064340
    Unten links KachelX 63277 KachelY + 1 77023 -0.10828946 -0.52476321 -6.204529 -30.066717
    Unten rechts KachelX + 1 63278 KachelY + 1 77023 -0.10824152 -0.52476321 -6.201782 -30.066717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52472172--0.52476321) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dl = 264.332790000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52472172--0.52476321) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dr = 264.332790000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10828946--0.10824152) × cos(-0.52472172) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.865463385670843 × 6371000     		do = 264.334795011479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10828946--0.10824152) × cos(-0.52476321) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.865442599590067 × 6371000     		du = 264.328446407376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52472172)-sin(-0.52476321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865463385670843-0.865442599590067)×R²
    abs(-0.10824152--0.10828946)×2.07860807766025e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.07860807766025e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.07860807766025e-05×40589641000000     		ar = 69871.5147974498m²