Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63276 / 77024
↖ ↑ ↗
← S 30.069094°
W  6.207275°		 ← 264.27 m → S 30.069094°
W  6.204529°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
S 30.071471°
W  6.207275°		 ← 264.26 m →
69 854 m²		 S 30.071471°
W  6.204529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482761383056641 y=0.587650299072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482761383056641 × 217)
    floor (0.482761383056641 × 131072)
    floor (63276.5)     		tx = 63276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587650299072266 × 217)
    floor (0.587650299072266 × 131072)
    floor (77024.5)     		ty = 77024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63276 / 77024 ti = "17/63276/77024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63276/77024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63276 ÷ 217
    63276 ÷ 131072     		x = 0.482757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77024 ÷ 217
    77024 ÷ 131072     		y = 0.587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.03448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10833739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587646484375 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.550699102835205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10833739} λ = -0.10833739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550699102835205))-π/2
    2×atan(0.576546604090031)-π/2
    2×0.522995817018753-π/2
    1.04599163403751-1.57079632675     		φ = -0.52480469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10833739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52480469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.069094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63276 KachelY 77024 -0.10833739 -0.52480469 -6.207275 -30.069094
    Oben rechts KachelX + 1 63277 KachelY 77024 -0.10828946 -0.52480469 -6.204529 -30.069094
    Unten links KachelX 63276 KachelY + 1 77025 -0.10833739 -0.52484618 -6.207275 -30.071471
    Unten rechts KachelX + 1 63277 KachelY + 1 77025 -0.10828946 -0.52484618 -6.204529 -30.071471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52480469--0.52484618) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dl = 264.332790000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52480469--0.52484618) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dr = 264.332790000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10833739--0.10828946) × cos(-0.52480469) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.86542181702994 × 6371000     		do = 264.26696285456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10833739--0.10828946) × cos(-0.52484618) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.865401027969978 × 6371000     		du = 264.260614665008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52480469)-sin(-0.52484618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86542181702994-0.865401027969978)×R²
    abs(-0.10828946--0.10833739)×2.07890599623894e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.07890599623894e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.07890599623894e-05×40589641000000     		ar = 69853.5845890131m²