Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63276 / 76639
↖ ↑ ↗
← S 29.149762°
W  6.207275°		 ← 266.69 m → S 29.149762°
W  6.204529°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
S 29.152161°
W  6.207275°		 ← 266.68 m →
71 139 m²		 S 29.152161°
W  6.204529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482761383056641 y=0.584712982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482761383056641 × 217)
    floor (0.482761383056641 × 131072)
    floor (63276.5)     		tx = 63276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584712982177734 × 217)
    floor (0.584712982177734 × 131072)
    floor (76639.5)     		ty = 76639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63276 / 76639 ti = "17/63276/76639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63276/76639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63276 ÷ 217
    63276 ÷ 131072     		x = 0.482757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76639 ÷ 217
    76639 ÷ 131072     		y = 0.584709167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.03448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10833739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584709167480469 × 2 - 1) × π
    -0.169418334960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.532243396481483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10833739} λ = -0.10833739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532243396481483))-π/2
    2×atan(0.587285975427115)-π/2
    2×0.531018496760217-π/2
    1.06203699352043-1.57079632675     		φ = -0.50875933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10833739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50875933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.149762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63276 KachelY 76639 -0.10833739 -0.50875933 -6.207275 -29.149762
    Oben rechts KachelX + 1 63277 KachelY 76639 -0.10828946 -0.50875933 -6.204529 -29.149762
    Unten links KachelX 63276 KachelY + 1 76640 -0.10833739 -0.50880120 -6.207275 -29.152161
    Unten rechts KachelX + 1 63277 KachelY + 1 76640 -0.10828946 -0.50880120 -6.204529 -29.152161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50875933--0.50880120) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50875933--0.50880120) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10833739--0.10828946) × cos(-0.50875933) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.873349502664098 × 6371000     		do = 266.687777033008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10833739--0.10828946) × cos(-0.50880120) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.873329107269294 × 6371000     		du = 266.681549053848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50875933)-sin(-0.50880120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873349502664098-0.873329107269294)×R²
    abs(-0.10828946--0.10833739)×2.03953948040292e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.03953948040292e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.03953948040292e-05×40589641000000     		ar = 71139.1392784556m²