Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63274 / 77019
↖ ↑ ↗
← S 30.057208°
W  6.212769°		 ← 264.35 m → S 30.057208°
W  6.210022°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
S 30.059586°
W  6.212769°		 ← 264.35 m →
69 877 m²		 S 30.059586°
W  6.210022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482746124267578 y=0.587612152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482746124267578 × 217)
    floor (0.482746124267578 × 131072)
    floor (63274.5)     		tx = 63274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587612152099609 × 217)
    floor (0.587612152099609 × 131072)
    floor (77019.5)     		ty = 77019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63274 / 77019 ti = "17/63274/77019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63274/77019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63274 ÷ 217
    63274 ÷ 131072     		x = 0.482742309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77019 ÷ 217
    77019 ÷ 131072     		y = 0.587608337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482742309570312 × 2 - 1) × π
    -0.034515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10843327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587608337402344 × 2 - 1) × π
    -0.175216674804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.550459418337105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10843327} λ = -0.10843327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550459418337105))-π/2
    2×atan(0.576684809935702)-π/2
    2×0.523099537342664-π/2
    1.04619907468533-1.57079632675     		φ = -0.52459725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10843327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.212769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52459725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.057208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63274 KachelY 77019 -0.10843327 -0.52459725 -6.212769 -30.057208
    Oben rechts KachelX + 1 63275 KachelY 77019 -0.10838533 -0.52459725 -6.210022 -30.057208
    Unten links KachelX 63274 KachelY + 1 77020 -0.10843327 -0.52463874 -6.212769 -30.059586
    Unten rechts KachelX + 1 63275 KachelY + 1 77020 -0.10838533 -0.52463874 -6.210022 -30.059586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52459725--0.52463874) × R
    4.14899999999774e-05 × 6371000     		dl = 264.332789999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52459725--0.52463874) × R
    4.14899999999774e-05 × 6371000     		dr = 264.332789999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10843327--0.10838533) × cos(-0.52459725) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865525734974074 × 6371000     		do = 264.35383809348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10843327--0.10838533) × cos(-0.52463874) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865504953362883 × 6371000     		du = 264.347490854504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52459725)-sin(-0.52463874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865525734974074-0.865504953362883)×R²
    abs(-0.10838533--0.10843327)×2.0781611191012e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.0781611191012e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.0781611191012e-05×40589641000000     		ar = 69876.5486886454m²