Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63271 / 76633
↖ ↑ ↗
← S 29.135369°
W  6.221008°		 ← 266.78 m → S 29.135369°
W  6.218262°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
S 29.137768°
W  6.221008°		 ← 266.77 m →
71 164 m²		 S 29.137768°
W  6.218262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482723236083984 y=0.584667205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482723236083984 × 217)
    floor (0.482723236083984 × 131072)
    floor (63271.5)     		tx = 63271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584667205810547 × 217)
    floor (0.584667205810547 × 131072)
    floor (76633.5)     		ty = 76633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63271 / 76633 ti = "17/63271/76633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63271/76633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63271 ÷ 217
    63271 ÷ 131072     		x = 0.482719421386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76633 ÷ 217
    76633 ÷ 131072     		y = 0.584663391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482719421386719 × 2 - 1) × π
    -0.0345611572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10857708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584663391113281 × 2 - 1) × π
    -0.169326782226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.531955775083763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10857708} λ = -0.10857708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531955775083763))-π/2
    2×atan(0.587454915734488)-π/2
    2×0.531144102559392-π/2
    1.06228820511878-1.57079632675     		φ = -0.50850812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10857708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.221008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50850812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.135369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63271 KachelY 76633 -0.10857708 -0.50850812 -6.221008 -29.135369
    Oben rechts KachelX + 1 63272 KachelY 76633 -0.10852914 -0.50850812 -6.218262 -29.135369
    Unten links KachelX 63271 KachelY + 1 76634 -0.10857708 -0.50854999 -6.221008 -29.137768
    Unten rechts KachelX + 1 63272 KachelY + 1 76634 -0.10852914 -0.50854999 -6.218262 -29.137768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50850812--0.50854999) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50850812--0.50854999) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10857708--0.10852914) × cos(-0.50850812) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.873471838010532 × 6371000     		do = 266.780782493584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10857708--0.10852914) × cos(-0.50854999) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.873451451802296 × 6371000     		du = 266.774556020847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50850812)-sin(-0.50854999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873471838010532-0.873451451802296)×R²
    abs(-0.10852914--0.10857708)×2.03862082356343e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.03862082356343e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.03862082356343e-05×40589641000000     		ar = 71163.9490366721m²