Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63270 / 76742
↖ ↑ ↗
← S 29.396534°
W  6.223755°		 ← 266.04 m → S 29.396534°
W  6.221008°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
S 29.398927°
W  6.223755°		 ← 266.04 m →
70 798 m²		 S 29.398927°
W  6.221008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482715606689453 y=0.585498809814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482715606689453 × 217)
    floor (0.482715606689453 × 131072)
    floor (63270.5)     		tx = 63270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585498809814453 × 217)
    floor (0.585498809814453 × 131072)
    floor (76742.5)     		ty = 76742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63270 / 76742 ti = "17/63270/76742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63270/76742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63270 ÷ 217
    63270 ÷ 131072     		x = 0.482711791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76742 ÷ 217
    76742 ÷ 131072     		y = 0.585494995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482711791992188 × 2 - 1) × π
    -0.034576416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10862501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585494995117188 × 2 - 1) × π
    -0.170989990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.537180897142349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10862501} λ = -0.10862501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.537180897142349))-π/2
    2×atan(0.584393397464617)-π/2
    2×0.528865012193442-π/2
    1.05773002438688-1.57079632675     		φ = -0.51306630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10862501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.223755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51306630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.396534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63270 KachelY 76742 -0.10862501 -0.51306630 -6.223755 -29.396534
    Oben rechts KachelX + 1 63271 KachelY 76742 -0.10857708 -0.51306630 -6.221008 -29.396534
    Unten links KachelX 63270 KachelY + 1 76743 -0.10862501 -0.51310807 -6.223755 -29.398927
    Unten rechts KachelX + 1 63271 KachelY + 1 76743 -0.10857708 -0.51310807 -6.221008 -29.398927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51306630--0.51310807) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dl = 266.116670000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51306630--0.51310807) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dr = 266.116670000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10862501--0.10857708) × cos(-0.51306630) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.871243509245211 × 6371000     		do = 266.044686607373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10862501--0.10857708) × cos(-0.51310807) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.871223005637057 × 6371000     		du = 266.038425583965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51306630)-sin(-0.51310807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871243509245211-0.871223005637057)×R²
    abs(-0.10857708--0.10862501)×2.05036081540877e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.05036081540877e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.05036081540877e-05×40589641000000     		ar = 70798.0930001451m²