Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63265 / 76641
↖ ↑ ↗
← S 29.154560°
W  6.237488°		 ← 266.73 m → S 29.154560°
W  6.234741°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
S 29.156959°
W  6.237488°		 ← 266.72 m →
71 151 m²		 S 29.156959°
W  6.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482677459716797 y=0.584728240966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482677459716797 × 217)
    floor (0.482677459716797 × 131072)
    floor (63265.5)     		tx = 63265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584728240966797 × 217)
    floor (0.584728240966797 × 131072)
    floor (76641.5)     		ty = 76641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63265 / 76641 ti = "17/63265/76641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63265/76641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63265 ÷ 217
    63265 ÷ 131072     		x = 0.482673645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76641 ÷ 217
    76641 ÷ 131072     		y = 0.584724426269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482673645019531 × 2 - 1) × π
    -0.0346527099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10886470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584724426269531 × 2 - 1) × π
    -0.169448852539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.532339270280724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10886470} λ = -0.10886470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532339270280724))-π/2
    2×atan(0.587229672788428)-π/2
    2×0.530976632070439-π/2
    1.06195326414088-1.57079632675     		φ = -0.50884306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10886470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.237488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50884306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.154560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63265 KachelY 76641 -0.10886470 -0.50884306 -6.237488 -29.154560
    Oben rechts KachelX + 1 63266 KachelY 76641 -0.10881676 -0.50884306 -6.234741 -29.154560
    Unten links KachelX 63265 KachelY + 1 76642 -0.10886470 -0.50888493 -6.237488 -29.156959
    Unten rechts KachelX + 1 63266 KachelY + 1 76642 -0.10881676 -0.50888493 -6.234741 -29.156959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50884306--0.50888493) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50884306--0.50888493) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10886470--0.10881676) × cos(-0.50884306) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873308715215132 × 6371000     		do = 266.73096059301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10886470--0.10881676) × cos(-0.50888493) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873288316758668 × 6371000     		du = 266.72473037935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50884306)-sin(-0.50888493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873308715215132-0.873288316758668)×R²
    abs(-0.10881676--0.10886470)×2.03984564636217e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.03984564636217e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.03984564636217e-05×40589641000000     		ar = 71150.6583578366m²