Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63261 / 76797
↖ ↑ ↗
← S 29.528060°
W  6.248474°		 ← 265.76 m → S 29.528060°
W  6.245728°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
S 29.530450°
W  6.248474°		 ← 265.75 m →
70 620 m²		 S 29.530450°
W  6.245728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482646942138672 y=0.585918426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482646942138672 × 217)
    floor (0.482646942138672 × 131072)
    floor (63261.5)     		tx = 63261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585918426513672 × 217)
    floor (0.585918426513672 × 131072)
    floor (76797.5)     		ty = 76797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63261 / 76797 ti = "17/63261/76797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63261/76797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63261 ÷ 217
    63261 ÷ 131072     		x = 0.482643127441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76797 ÷ 217
    76797 ÷ 131072     		y = 0.585914611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482643127441406 × 2 - 1) × π
    -0.0347137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10905645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585914611816406 × 2 - 1) × π
    -0.171829223632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.539817426621452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10905645} λ = -0.10905645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539817426621452))-π/2
    2×atan(0.582854656404244)-π/2
    2×0.527717226466021-π/2
    1.05543445293204-1.57079632675     		φ = -0.51536187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10905645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.248474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51536187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.528060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63261 KachelY 76797 -0.10905645 -0.51536187 -6.248474 -29.528060
    Oben rechts KachelX + 1 63262 KachelY 76797 -0.10900851 -0.51536187 -6.245728 -29.528060
    Unten links KachelX 63261 KachelY + 1 76798 -0.10905645 -0.51540358 -6.248474 -29.530450
    Unten rechts KachelX + 1 63262 KachelY + 1 76798 -0.10900851 -0.51540358 -6.245728 -29.530450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51536187--0.51540358) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dl = 265.734409999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51536187--0.51540358) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dr = 265.734409999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10905645--0.10900851) × cos(-0.51536187) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870114431733764 × 6371000     		do = 265.755344196944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10905645--0.10900851) × cos(-0.51540358) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870093874213835 × 6371000     		du = 265.749065401207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51536187)-sin(-0.51540358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870114431733764-0.870093874213835)×R²
    abs(-0.10900851--0.10905645)×2.0557519929687e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.0557519929687e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.0557519929687e-05×40589641000000     		ar = 70619.5053586892m²