Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63259 / 76781
↖ ↑ ↗
← S 29.489816°
W  6.253967°		 ← 265.86 m → S 29.489816°
W  6.251221°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
S 29.492206°
W  6.253967°		 ← 265.85 m →
70 663 m²		 S 29.492206°
W  6.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482631683349609 y=0.585796356201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482631683349609 × 217)
    floor (0.482631683349609 × 131072)
    floor (63259.5)     		tx = 63259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585796356201172 × 217)
    floor (0.585796356201172 × 131072)
    floor (76781.5)     		ty = 76781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63259 / 76781 ti = "17/63259/76781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63259/76781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63259 ÷ 217
    63259 ÷ 131072     		x = 0.482627868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76781 ÷ 217
    76781 ÷ 131072     		y = 0.585792541503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482627868652344 × 2 - 1) × π
    -0.0347442626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10915232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585792541503906 × 2 - 1) × π
    -0.171585083007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.539050436227531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10915232} λ = -0.10915232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539050436227531))-π/2
    2×atan(0.583301871809795)-π/2
    2×0.528050974222082-π/2
    1.05610194844416-1.57079632675     		φ = -0.51469438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10915232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.253967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51469438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.489816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63259 KachelY 76781 -0.10915232 -0.51469438 -6.253967 -29.489816
    Oben rechts KachelX + 1 63260 KachelY 76781 -0.10910438 -0.51469438 -6.251221 -29.489816
    Unten links KachelX 63259 KachelY + 1 76782 -0.10915232 -0.51473610 -6.253967 -29.492206
    Unten rechts KachelX + 1 63260 KachelY + 1 76782 -0.10910438 -0.51473610 -6.251221 -29.492206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51469438--0.51473610) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51469438--0.51473610) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10915232--0.10910438) × cos(-0.51469438) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870443210152055 × 6371000     		do = 265.855761588646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10915232--0.10910438) × cos(-0.51473610) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870422671938228 × 6371000     		du = 265.84948868949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51469438)-sin(-0.51473610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870443210152055-0.870422671938228)×R²
    abs(-0.10910438--0.10915232)×2.05382138268595e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05382138268595e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05382138268595e-05×40589641000000     		ar = 70663.127969288m²