Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63259 / 38990
↖ ↑ ↗
← N 58.702629°
W  6.253967°		 ← 158.66 m → N 58.702629°
W  6.251221°		 →
↑
158.64 m
↓
↑
158.64 m
↓
N 58.701203°
W  6.253967°		 ← 158.67 m →
25 170 m²		 N 58.701203°
W  6.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482631683349609 y=0.297473907470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482631683349609 × 217)
    floor (0.482631683349609 × 131072)
    floor (63259.5)     		tx = 63259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297473907470703 × 217)
    floor (0.297473907470703 × 131072)
    floor (38990.5)     		ty = 38990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63259 / 38990 ti = "17/63259/38990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63259/38990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63259 ÷ 217
    63259 ÷ 131072     		x = 0.482627868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38990 ÷ 217
    38990 ÷ 131072     		y = 0.297470092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482627868652344 × 2 - 1) × π
    -0.0347442626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10915232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297470092773438 × 2 - 1) × π
    0.405059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27253293731401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10915232} λ = -0.10915232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27253293731401))-π/2
    2×atan(3.56988341113901)-π/2
    2×1.29767524501173-π/2
    2.59535049002346-1.57079632675     		φ = 1.02455416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10915232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.253967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02455416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.702629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63259 KachelY 38990 -0.10915232 1.02455416 -6.253967 58.702629
    Oben rechts KachelX + 1 63260 KachelY 38990 -0.10910438 1.02455416 -6.251221 58.702629
    Unten links KachelX 63259 KachelY + 1 38991 -0.10915232 1.02452926 -6.253967 58.701203
    Unten rechts KachelX + 1 63260 KachelY + 1 38991 -0.10910438 1.02452926 -6.251221 58.701203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02455416-1.02452926) × R
    2.49000000001054e-05 × 6371000     		dl = 158.637900000671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02455416-1.02452926) × R
    2.49000000001054e-05 × 6371000     		dr = 158.637900000671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10915232--0.10910438) × cos(1.02455416) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.519479901003481 × 6371000     		do = 158.662533179103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10915232--0.10910438) × cos(1.02452926) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.519501177460907 × 6371000     		du = 158.669031556857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02455416)-sin(1.02452926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519479901003481-0.519501177460907)×R²
    abs(-0.10910438--0.10915232)×2.12764574266666e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12764574266666e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12764574266666e-05×40589641000000     		ar = 25170.4065180854m²