Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63257 / 76886
↖ ↑ ↗
← S 29.740532°
W  6.259460°		 ← 265.14 m → S 29.740532°
W  6.256714°		 →
↑
265.16 m
↓
↑
265.16 m
↓
S 29.742917°
W  6.259460°		 ← 265.13 m →
70 304 m²		 S 29.742917°
W  6.256714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482616424560547 y=0.586597442626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482616424560547 × 217)
    floor (0.482616424560547 × 131072)
    floor (63257.5)     		tx = 63257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586597442626953 × 217)
    floor (0.586597442626953 × 131072)
    floor (76886.5)     		ty = 76886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63257 / 76886 ti = "17/63257/76886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63257/76886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63257 ÷ 217
    63257 ÷ 131072     		x = 0.482612609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76886 ÷ 217
    76886 ÷ 131072     		y = 0.586593627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482612609863281 × 2 - 1) × π
    -0.0347747802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10924819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586593627929688 × 2 - 1) × π
    -0.173187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.544083810687637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10924819} λ = -0.10924819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544083810687637))-π/2
    2×atan(0.580373271619367)-π/2
    2×0.525863059601633-π/2
    1.05172611920327-1.57079632675     		φ = -0.51907021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10924819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.259460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51907021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.740532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63257 KachelY 76886 -0.10924819 -0.51907021 -6.259460 -29.740532
    Oben rechts KachelX + 1 63258 KachelY 76886 -0.10920026 -0.51907021 -6.256714 -29.740532
    Unten links KachelX 63257 KachelY + 1 76887 -0.10924819 -0.51911183 -6.259460 -29.742917
    Unten rechts KachelX + 1 63258 KachelY + 1 76887 -0.10920026 -0.51911183 -6.256714 -29.742917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51907021--0.51911183) × R
    4.16200000000755e-05 × 6371000     		dl = 265.161020000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51907021--0.51911183) × R
    4.16200000000755e-05 × 6371000     		dr = 265.161020000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10924819--0.10920026) × cos(-0.51907021) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868280798675538 × 6371000     		do = 265.139987293592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10924819--0.10920026) × cos(-0.51911183) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868260151363857 × 6371000     		du = 265.133682388584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51907021)-sin(-0.51911183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868280798675538-0.868260151363857)×R²
    abs(-0.10920026--0.10924819)×2.06473116804995e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.06473116804995e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.06473116804995e-05×40589641000000     		ar = 70303.9535763438m²