Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63256 / 77465
↖ ↑ ↗
← S 31.111740°
W  6.262207°		 ← 261.49 m → S 31.111740°
W  6.259460°		 →
↑
261.47 m
↓
↑
261.47 m
↓
S 31.114091°
W  6.262207°		 ← 261.49 m →
68 371 m²		 S 31.114091°
W  6.259460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482608795166016 y=0.591014862060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482608795166016 × 217)
    floor (0.482608795166016 × 131072)
    floor (63256.5)     		tx = 63256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591014862060547 × 217)
    floor (0.591014862060547 × 131072)
    floor (77465.5)     		ty = 77465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63256 / 77465 ti = "17/63256/77465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63256/77465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63256 ÷ 217
    63256 ÷ 131072     		x = 0.48260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77465 ÷ 217
    77465 ÷ 131072     		y = 0.591011047363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10929613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591011047363281 × 2 - 1) × π
    -0.182022094726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.57183927556765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10929613} λ = -0.10929613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.57183927556765))-π/2
    2×atan(0.564486237558849)-π/2
    2×0.513897012958661-π/2
    1.02779402591732-1.57079632675     		φ = -0.54300230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10929613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54300230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.111740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63256 KachelY 77465 -0.10929613 -0.54300230 -6.262207 -31.111740
    Oben rechts KachelX + 1 63257 KachelY 77465 -0.10924819 -0.54300230 -6.259460 -31.111740
    Unten links KachelX 63256 KachelY + 1 77466 -0.10929613 -0.54304334 -6.262207 -31.114091
    Unten rechts KachelX + 1 63257 KachelY + 1 77466 -0.10924819 -0.54304334 -6.259460 -31.114091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54300230--0.54304334) × R
    4.10399999999367e-05 × 6371000     		dl = 261.465839999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54300230--0.54304334) × R
    4.10399999999367e-05 × 6371000     		dr = 261.465839999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10929613--0.10924819) × cos(-0.54300230) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.856161227588399 × 6371000     		do = 261.493676495551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10929613--0.10924819) × cos(-0.54304334) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.856140021139501 × 6371000     		du = 261.487199500203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54300230)-sin(-0.54304334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856161227588399-0.856140021139501)×R²
    abs(-0.10924819--0.10929613)×2.12064488984698e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.12064488984698e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.12064488984698e-05×40589641000000     		ar = 68370.8170325828m²