Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63255 / 76887
↖ ↑ ↗
← S 29.742917°
W  6.264954°		 ← 265.19 m → S 29.742917°
W  6.262207°		 →
↑
265.16 m
↓
↑
265.16 m
↓
S 29.745302°
W  6.264954°		 ← 265.18 m →
70 317 m²		 S 29.745302°
W  6.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482601165771484 y=0.586605072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482601165771484 × 217)
    floor (0.482601165771484 × 131072)
    floor (63255.5)     		tx = 63255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586605072021484 × 217)
    floor (0.586605072021484 × 131072)
    floor (76887.5)     		ty = 76887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63255 / 76887 ti = "17/63255/76887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63255/76887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63255 ÷ 217
    63255 ÷ 131072     		x = 0.482597351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76887 ÷ 217
    76887 ÷ 131072     		y = 0.586601257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482597351074219 × 2 - 1) × π
    -0.0348052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10934407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586601257324219 × 2 - 1) × π
    -0.173202514648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.544131747587257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10934407} λ = -0.10934407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544131747587257))-π/2
    2×atan(0.580345450990925)-π/2
    2×0.525842248504313-π/2
    1.05168449700863-1.57079632675     		φ = -0.51911183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10934407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.264954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51911183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.742917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63255 KachelY 76887 -0.10934407 -0.51911183 -6.264954 -29.742917
    Oben rechts KachelX + 1 63256 KachelY 76887 -0.10929613 -0.51911183 -6.262207 -29.742917
    Unten links KachelX 63255 KachelY + 1 76888 -0.10934407 -0.51915345 -6.264954 -29.745302
    Unten rechts KachelX + 1 63256 KachelY + 1 76888 -0.10929613 -0.51915345 -6.262207 -29.745302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51911183--0.51915345) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dl = 265.161019999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51911183--0.51915345) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dr = 265.161019999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10934407--0.10929613) × cos(-0.51911183) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.868260151363857 × 6371000     		do = 265.188999242798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10934407--0.10929613) × cos(-0.51915345) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.868239502548156 × 6371000     		du = 265.182692562982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51911183)-sin(-0.51915345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868260151363857-0.868239502548156)×R²
    abs(-0.10929613--0.10934407)×2.06488157019624e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.06488157019624e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.06488157019624e-05×40589641000000     		ar = 70316.9493992769m²