Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63252 / 38964
↖ ↑ ↗
← N 58.739706°
W  6.273193°		 ← 158.49 m → N 58.739706°
W  6.270447°		 →
↑
158.51 m
↓
↑
158.51 m
↓
N 58.738281°
W  6.273193°		 ← 158.50 m →
25 123 m²		 N 58.738281°
W  6.270447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482578277587891 y=0.297275543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482578277587891 × 217)
    floor (0.482578277587891 × 131072)
    floor (63252.5)     		tx = 63252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297275543212891 × 217)
    floor (0.297275543212891 × 131072)
    floor (38964.5)     		ty = 38964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63252 / 38964 ti = "17/63252/38964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63252/38964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63252 ÷ 217
    63252 ÷ 131072     		x = 0.482574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38964 ÷ 217
    38964 ÷ 131072     		y = 0.297271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.03485107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10948788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297271728515625 × 2 - 1) × π
    0.40545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27377929670413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10948788} λ = -0.10948788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27377929670413))-π/2
    2×atan(3.57433554275181)-π/2
    2×1.29799880199025-π/2
    2.5959976039805-1.57079632675     		φ = 1.02520128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10948788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.273193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02520128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.739706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63252 KachelY 38964 -0.10948788 1.02520128 -6.273193 58.739706
    Oben rechts KachelX + 1 63253 KachelY 38964 -0.10943994 1.02520128 -6.270447 58.739706
    Unten links KachelX 63252 KachelY + 1 38965 -0.10948788 1.02517640 -6.273193 58.738281
    Unten rechts KachelX + 1 63253 KachelY + 1 38965 -0.10943994 1.02517640 -6.270447 58.738281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02520128-1.02517640) × R
    2.48800000000049e-05 × 6371000     		dl = 158.510480000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02520128-1.02517640) × R
    2.48800000000049e-05 × 6371000     		dr = 158.510480000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10948788--0.10943994) × cos(1.02520128) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518926839447182 × 6371000     		do = 158.493613944004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10948788--0.10943994) × cos(1.02517640) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518948107174739 × 6371000     		du = 158.500109655432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02520128)-sin(1.02517640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518926839447182-0.518948107174739)×R²
    abs(-0.10943994--0.10948788)×2.12677275570616e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12677275570616e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12677275570616e-05×40589641000000     		ar = 25123.4136436961m²