Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63251 / 76883
↖ ↑ ↗
← S 29.733378°
W  6.275940°		 ← 265.21 m → S 29.733378°
W  6.273193°		 →
↑
265.16 m
↓
↑
265.16 m
↓
S 29.735762°
W  6.275940°		 ← 265.21 m →
70 324 m²		 S 29.735762°
W  6.273193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482570648193359 y=0.586574554443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482570648193359 × 217)
    floor (0.482570648193359 × 131072)
    floor (63251.5)     		tx = 63251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586574554443359 × 217)
    floor (0.586574554443359 × 131072)
    floor (76883.5)     		ty = 76883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63251 / 76883 ti = "17/63251/76883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63251/76883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63251 ÷ 217
    63251 ÷ 131072     		x = 0.482566833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76883 ÷ 217
    76883 ÷ 131072     		y = 0.586570739746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482566833496094 × 2 - 1) × π
    -0.0348663330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10953582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586570739746094 × 2 - 1) × π
    -0.173141479492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.543939999988777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10953582} λ = -0.10953582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543939999988777))-π/2
    2×atan(0.580456741506945)-π/2
    2×0.525925495862883-π/2
    1.05185099172577-1.57079632675     		φ = -0.51894534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10953582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.275940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51894534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.733378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63251 KachelY 76883 -0.10953582 -0.51894534 -6.275940 -29.733378
    Oben rechts KachelX + 1 63252 KachelY 76883 -0.10948788 -0.51894534 -6.273193 -29.733378
    Unten links KachelX 63251 KachelY + 1 76884 -0.10953582 -0.51898696 -6.275940 -29.735762
    Unten rechts KachelX + 1 63252 KachelY + 1 76884 -0.10948788 -0.51898696 -6.273193 -29.735762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51894534--0.51898696) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dl = 265.161019999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51894534--0.51898696) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dr = 265.161019999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10953582--0.10948788) × cos(-0.51894534) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.868342736545739 × 6371000     		do = 265.214222883164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10953582--0.10948788) × cos(-0.51898696) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.868322093746699 × 6371000     		du = 265.207918040991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51894534)-sin(-0.51898696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868342736545739-0.868322093746699)×R²
    abs(-0.10948788--0.10953582)×2.0642799040238e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.0642799040238e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.0642799040238e-05×40589641000000     		ar = 70323.6379691341m²