Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63251 / 76882
↖ ↑ ↗
← S 29.730993°
W  6.275940°		 ← 265.22 m → S 29.730993°
W  6.273193°		 →
↑
265.22 m
↓
↑
265.22 m
↓
S 29.733378°
W  6.275940°		 ← 265.21 m →
70 342 m²		 S 29.733378°
W  6.273193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482570648193359 y=0.586566925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482570648193359 × 217)
    floor (0.482570648193359 × 131072)
    floor (63251.5)     		tx = 63251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586566925048828 × 217)
    floor (0.586566925048828 × 131072)
    floor (76882.5)     		ty = 76882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63251 / 76882 ti = "17/63251/76882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63251/76882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63251 ÷ 217
    63251 ÷ 131072     		x = 0.482566833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76882 ÷ 217
    76882 ÷ 131072     		y = 0.586563110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482566833496094 × 2 - 1) × π
    -0.0348663330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10953582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586563110351562 × 2 - 1) × π
    -0.173126220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.543892063089157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10953582} λ = -0.10953582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543892063089157))-π/2
    2×atan(0.580484567470437)-π/2
    2×0.525946308939649-π/2
    1.0518926178793-1.57079632675     		φ = -0.51890371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10953582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.275940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51890371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.730993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63251 KachelY 76882 -0.10953582 -0.51890371 -6.275940 -29.730993
    Oben rechts KachelX + 1 63252 KachelY 76882 -0.10948788 -0.51890371 -6.273193 -29.730993
    Unten links KachelX 63251 KachelY + 1 76883 -0.10953582 -0.51894534 -6.275940 -29.733378
    Unten rechts KachelX + 1 63252 KachelY + 1 76883 -0.10948788 -0.51894534 -6.273193 -29.733378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51890371--0.51894534) × R
    4.16300000000147e-05 × 6371000     		dl = 265.224730000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51890371--0.51894534) × R
    4.16300000000147e-05 × 6371000     		dr = 265.224730000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10953582--0.10948788) × cos(-0.51890371) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.8683633827999 × 6371000     		do = 265.220528780619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10953582--0.10948788) × cos(-0.51894534) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.868342736545739 × 6371000     		du = 265.214222883164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51890371)-sin(-0.51894534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8683633827999-0.868342736545739)×R²
    abs(-0.10948788--0.10953582)×2.0646254160428e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.0646254160428e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.0646254160428e-05×40589641000000     		ar = 70342.2069064668m²