Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63251 / 76787
↖ ↑ ↗
← S 29.504159°
W  6.275940°		 ← 265.82 m → S 29.504159°
W  6.273193°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
S 29.506550°
W  6.275940°		 ← 265.81 m →
70 653 m²		 S 29.506550°
W  6.273193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482570648193359 y=0.585842132568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482570648193359 × 217)
    floor (0.482570648193359 × 131072)
    floor (63251.5)     		tx = 63251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585842132568359 × 217)
    floor (0.585842132568359 × 131072)
    floor (76787.5)     		ty = 76787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63251 / 76787 ti = "17/63251/76787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63251/76787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63251 ÷ 217
    63251 ÷ 131072     		x = 0.482566833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76787 ÷ 217
    76787 ÷ 131072     		y = 0.585838317871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482566833496094 × 2 - 1) × π
    -0.0348663330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10953582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585838317871094 × 2 - 1) × π
    -0.171676635742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.539338057625252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10953582} λ = -0.10953582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539338057625252))-π/2
    2×atan(0.583134125834954)-π/2
    2×0.527925804038351-π/2
    1.0558516080767-1.57079632675     		φ = -0.51494472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10953582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.275940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51494472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.504159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63251 KachelY 76787 -0.10953582 -0.51494472 -6.275940 -29.504159
    Oben rechts KachelX + 1 63252 KachelY 76787 -0.10948788 -0.51494472 -6.273193 -29.504159
    Unten links KachelX 63251 KachelY + 1 76788 -0.10953582 -0.51498644 -6.275940 -29.506550
    Unten rechts KachelX + 1 63252 KachelY + 1 76788 -0.10948788 -0.51498644 -6.273193 -29.506550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51494472--0.51498644) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51494472--0.51498644) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10953582--0.10948788) × cos(-0.51494472) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.870319948294752 × 6371000     		do = 265.818114244743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10953582--0.10948788) × cos(-0.51498644) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.870299400990606 × 6371000     		du = 265.811838569169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51494472)-sin(-0.51498644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870319948294752-0.870299400990606)×R²
    abs(-0.10948788--0.10953582)×2.05473041456905e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.05473041456905e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.05473041456905e-05×40589641000000     		ar = 70653.1210070115m²