Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63250 / 38967
↖ ↑ ↗
← N 58.735431°
W  6.278686°		 ← 158.48 m → N 58.735431°
W  6.275940°		 →
↑
158.51 m
↓
↑
158.51 m
↓
N 58.734005°
W  6.278686°		 ← 158.49 m →
25 121 m²		 N 58.734005°
W  6.275940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482563018798828 y=0.297298431396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482563018798828 × 217)
    floor (0.482563018798828 × 131072)
    floor (63250.5)     		tx = 63250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297298431396484 × 217)
    floor (0.297298431396484 × 131072)
    floor (38967.5)     		ty = 38967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63250 / 38967 ti = "17/63250/38967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63250/38967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63250 ÷ 217
    63250 ÷ 131072     		x = 0.482559204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38967 ÷ 217
    38967 ÷ 131072     		y = 0.297294616699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482559204101562 × 2 - 1) × π
    -0.034881591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10958375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297294616699219 × 2 - 1) × π
    0.405410766601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.27363548600527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10958375} λ = -0.10958375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27363548600527))-π/2
    2×atan(3.57382155201902)-π/2
    2×1.29796148608078-π/2
    2.59592297216155-1.57079632675     		φ = 1.02512665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10958375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.278686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02512665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.735431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63250 KachelY 38967 -0.10958375 1.02512665 -6.278686 58.735431
    Oben rechts KachelX + 1 63251 KachelY 38967 -0.10953582 1.02512665 -6.275940 58.735431
    Unten links KachelX 63250 KachelY + 1 38968 -0.10958375 1.02510177 -6.278686 58.734005
    Unten rechts KachelX + 1 63251 KachelY + 1 38968 -0.10953582 1.02510177 -6.275940 58.734005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02512665-1.02510177) × R
    2.48800000000049e-05 × 6371000     		dl = 158.510480000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02512665-1.02510177) × R
    2.48800000000049e-05 × 6371000     		dr = 158.510480000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10958375--0.10953582) × cos(1.02512665) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.518990633118331 × 6371000     		do = 158.480033279958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10958375--0.10953582) × cos(1.02510177) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.519011899882269 × 6371000     		du = 158.486527342166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02512665)-sin(1.02510177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518990633118331-0.519011899882269)×R²
    abs(-0.10953582--0.10958375)×2.12667639375441e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.12667639375441e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.12667639375441e-05×40589641000000     		ar = 25121.2608353167m²