Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6325 / 6165
↖ ↑ ↗
← S 66.878345°
E 97.954102°		 ← 1 918.85 m → S 66.878345°
E 97.998047°		 →
↑
1 918.18 m
↓
↑
1 918.18 m
↓
S 66.895596°
E 97.954102°		 ← 1 917.50 m →
3 679 406 m²		 S 66.895596°
E 97.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77215576171875 y=0.75262451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77215576171875 × 213)
    floor (0.77215576171875 × 8192)
    floor (6325.5)     		tx = 6325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75262451171875 × 213)
    floor (0.75262451171875 × 8192)
    floor (6165.5)     		ty = 6165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6325 / 6165 ti = "13/6325/6165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6325/6165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6325 ÷ 213
    6325 ÷ 8192     		x = 0.7720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6165 ÷ 213
    6165 ÷ 8192     		y = 0.7525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7720947265625 × 2 - 1) × π
    0.544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70962159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7525634765625 × 2 - 1) × π
    -0.505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58690312502234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70962159} λ = 1.70962159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58690312502234))-π/2
    2×atan(0.204558122756762)-π/2
    2×0.201774503763069-π/2
    0.403549007526137-1.57079632675     		φ = -1.16724732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70962159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.954102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16724732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.878345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6325 KachelY 6165 1.70962159 -1.16724732 97.954102 -66.878345
    Oben rechts KachelX + 1 6326 KachelY 6165 1.71038858 -1.16724732 97.998047 -66.878345
    Unten links KachelX 6325 KachelY + 1 6166 1.70962159 -1.16754840 97.954102 -66.895596
    Unten rechts KachelX + 1 6326 KachelY + 1 6166 1.71038858 -1.16754840 97.998047 -66.895596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16724732--1.16754840) × R
    0.000301080000000065 × 6371000     		dl = 1918.18068000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16724732--1.16754840) × R
    0.000301080000000065 × 6371000     		dr = 1918.18068000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70962159-1.71038858) × cos(-1.16724732) × R
    0.000766990000000023 × 0.39268473472587 × 6371000     		do = 1918.85132132345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70962159-1.71038858) × cos(-1.16754840) × R
    0.000766990000000023 × 0.392407821740388 × 6371000     		du = 1917.49818787798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16724732)-sin(-1.16754840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39268473472587-0.392407821740388)×R²
    abs(1.71038858-1.70962159)×0.000276912985481936×R²
    0.000766990000000023×0.000276912985481936×6371000²
    0.000766990000000023×0.000276912985481936×40589641000000     		ar = 3679405.78293405m²