Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63249 / 38966
↖ ↑ ↗
← N 58.736855°
W  6.281433°		 ← 158.51 m → N 58.736855°
W  6.278686°		 →
↑
158.45 m
↓
↑
158.45 m
↓
N 58.735431°
W  6.281433°		 ← 158.51 m →
25 115 m²		 N 58.735431°
W  6.278686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482555389404297 y=0.297290802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482555389404297 × 217)
    floor (0.482555389404297 × 131072)
    floor (63249.5)     		tx = 63249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297290802001953 × 217)
    floor (0.297290802001953 × 131072)
    floor (38966.5)     		ty = 38966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63249 / 38966 ti = "17/63249/38966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63249/38966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63249 ÷ 217
    63249 ÷ 131072     		x = 0.482551574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38966 ÷ 217
    38966 ÷ 131072     		y = 0.297286987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482551574707031 × 2 - 1) × π
    -0.0348968505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10963169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297286987304688 × 2 - 1) × π
    0.405426025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27368342290489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10963169} λ = -0.10963169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27368342290489))-π/2
    2×atan(3.57399287405031)-π/2
    2×1.29797392522696-π/2
    2.59594785045392-1.57079632675     		φ = 1.02515152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10963169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.281433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02515152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.736855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63249 KachelY 38966 -0.10963169 1.02515152 -6.281433 58.736855
    Oben rechts KachelX + 1 63250 KachelY 38966 -0.10958375 1.02515152 -6.278686 58.736855
    Unten links KachelX 63249 KachelY + 1 38967 -0.10963169 1.02512665 -6.281433 58.735431
    Unten rechts KachelX + 1 63250 KachelY + 1 38967 -0.10958375 1.02512665 -6.278686 58.735431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02515152-1.02512665) × R
    2.48700000000657e-05 × 6371000     		dl = 158.446770000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02515152-1.02512665) × R
    2.48700000000657e-05 × 6371000     		dr = 158.446770000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10963169--0.10958375) × cos(1.02515152) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.518969374581059 × 6371000     		do = 158.506605268791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10963169--0.10958375) × cos(1.02512665) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.518990633118331 × 6371000     		du = 158.513098173269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02515152)-sin(1.02512665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518969374581059-0.518990633118331)×R²
    abs(-0.10958375--0.10963169)×2.12585372719731e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.12585372719731e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.12585372719731e-05×40589641000000     		ar = 25115.3740196714m²