Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63248 / 39152
↖ ↑ ↗
← N 58.470721°
W  6.284180°		 ← 159.72 m → N 58.470721°
W  6.281433°		 →
↑
159.66 m
↓
↑
159.66 m
↓
N 58.469285°
W  6.284180°		 ← 159.72 m →
25 501 m²		 N 58.469285°
W  6.281433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482547760009766 y=0.298709869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482547760009766 × 217)
    floor (0.482547760009766 × 131072)
    floor (63248.5)     		tx = 63248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298709869384766 × 217)
    floor (0.298709869384766 × 131072)
    floor (39152.5)     		ty = 39152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63248 / 39152 ti = "17/63248/39152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63248/39152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63248 ÷ 217
    63248 ÷ 131072     		x = 0.4825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39152 ÷ 217
    39152 ÷ 131072     		y = 0.2987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4825439453125 × 2 - 1) × π
    -0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2987060546875 × 2 - 1) × π
    0.402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26476715957556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10967963} λ = -0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26476715957556))-π/2
    2×atan(3.54226785692882)-π/2
    2×1.29565146058565-π/2
    2.59130292117129-1.57079632675     		φ = 1.02050659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02050659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.470721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63248 KachelY 39152 -0.10967963 1.02050659 -6.284180 58.470721
    Oben rechts KachelX + 1 63249 KachelY 39152 -0.10963169 1.02050659 -6.281433 58.470721
    Unten links KachelX 63248 KachelY + 1 39153 -0.10967963 1.02048153 -6.284180 58.469285
    Unten rechts KachelX + 1 63249 KachelY + 1 39153 -0.10963169 1.02048153 -6.281433 58.469285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02050659-1.02048153) × R
    2.50600000000212e-05 × 6371000     		dl = 159.657260000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02050659-1.02048153) × R
    2.50600000000212e-05 × 6371000     		dr = 159.657260000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10967963--0.10963169) × cos(1.02050659) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522934214710676 × 6371000     		do = 159.717569499315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10967963--0.10963169) × cos(1.02048153) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522955575014968 × 6371000     		du = 159.72409348606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02050659)-sin(1.02048153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522934214710676-0.522955575014968)×R²
    abs(-0.10963169--0.10967963)×2.13603042921173e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13603042921173e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13603042921173e-05×40589641000000     		ar = 25500.5903223377m²