Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63247 / 38970
↖ ↑ ↗
← N 58.731153°
W  6.286926°		 ← 158.50 m → N 58.731153°
W  6.284180°		 →
↑
158.51 m
↓
↑
158.51 m
↓
N 58.729728°
W  6.286926°		 ← 158.51 m →
25 124 m²		 N 58.729728°
W  6.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482540130615234 y=0.297321319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482540130615234 × 217)
    floor (0.482540130615234 × 131072)
    floor (63247.5)     		tx = 63247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297321319580078 × 217)
    floor (0.297321319580078 × 131072)
    floor (38970.5)     		ty = 38970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63247 / 38970 ti = "17/63247/38970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63247/38970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63247 ÷ 217
    63247 ÷ 131072     		x = 0.482536315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38970 ÷ 217
    38970 ÷ 131072     		y = 0.297317504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482536315917969 × 2 - 1) × π
    -0.0349273681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10972756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297317504882812 × 2 - 1) × π
    0.405364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27349167530641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10972756} λ = -0.10972756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27349167530641))-π/2
    2×atan(3.57330763519827)-π/2
    2×1.29792416558391-π/2
    2.59584833116782-1.57079632675     		φ = 1.02505200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10972756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.286926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02505200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.731153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63247 KachelY 38970 -0.10972756 1.02505200 -6.286926 58.731153
    Oben rechts KachelX + 1 63248 KachelY 38970 -0.10967963 1.02505200 -6.284180 58.731153
    Unten links KachelX 63247 KachelY + 1 38971 -0.10972756 1.02502712 -6.286926 58.729728
    Unten rechts KachelX + 1 63248 KachelY + 1 38971 -0.10967963 1.02502712 -6.284180 58.729728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02505200-1.02502712) × R
    2.48800000000049e-05 × 6371000     		dl = 158.510480000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02505200-1.02502712) × R
    2.48800000000049e-05 × 6371000     		dr = 158.510480000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10972756--0.10967963) × cos(1.02505200) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.519054440993715 × 6371000     		do = 158.499517782361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10972756--0.10967963) × cos(1.02502712) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.519075706793657 × 6371000     		du = 158.506011550201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02505200)-sin(1.02502712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519054440993715-0.519075706793657)×R²
    abs(-0.10967963--0.10972756)×2.1265799941439e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1265799941439e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1265799941439e-05×40589641000000     		ar = 25124.3493099133m²